Otwarte2 pkt
Rozwiąż nierówność \(-3x^{2}+8\geq 10x\).
Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie
1 Przenieś wyrazy na jedną stronę
Po pomnożeniu nierówności przez −1 zmieniamy jej zwrot, aby współczynnik przy \(x^2\) był dodatni.
\[-3x^2+8\geq 10x\iff 3x^2+10x-8\leq 0\]
2 Rozłóż trójmian na czynniki
Postać iloczynowa pozwala wyznaczyć miejsca zerowe i znak wyrażenia.
\[3x^2+10x-8=(3x-2)(x+4)\]
3 Wyznacz rozwiązanie
Iloczyn jest niedodatni między miejscami zerowymi, łącznie z nimi.
\[(3x-2)(x+4)\leq 0\iff -4\leq x\leq \frac{2}{3}\]
Odpowiedź
Zbiorem rozwiązań jest przedział domknięty od −4 do 2/3.
\[x\in\left[-4,\frac{2}{3}\right]\]
Sprawdzenie
Dla x=0, leżącego w otrzymanym przedziale, nierówność jest prawdziwa. Dla x=−5 i x=1, leżących poza nim, jest fałszywa. W obu końcach przedziału zachodzi równość.
\[x=0:\ 8\geq 0;\qquad x=-5:\ -67\not\geq -50;\qquad x=1:\ 5\not\geq 10\]