Otwarte2 pkt
Wykaż, że dla każdej liczby rzeczywistej \(x\) i każdej liczby rzeczywistej \(y\) takich, że \(x\ne y\) prawdziwa jest nierówność \[\left(\frac{1}{5}x+\frac{4}{5}y\right)^2<\frac{x^2+4y^2}{5}\]
Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie
1 Obliczenie różnicy
Odejmujemy lewą stronę od prawej, aby ustalić znak ich różnicy.
\[\frac{x^2+4y^2}{5}-\left(\frac{x+4y}{5}\right)^2=\frac{5x^2+20y^2-(x^2+8xy+16y^2)}{25}=\frac{4(x-y)^2}{25}\]
2 Ustalenie znaku
Ponieważ \(x\ne y\), kwadrat różnicy jest dodatni. Prawa strona nierówności jest więc większa od lewej.
\[x\ne y\implies (x-y)^2>0\implies \frac{4(x-y)^2}{25}>0\]
Odpowiedź
Nierówność jest prawdziwa dla wszystkich liczb rzeczywistych \(x\ne y\).
\[\left(\frac{x+4y}{5}\right)^2<\frac{x^2+4y^2}{5}\]
Sprawdzenie
Równość mogłaby zachodzić tylko przy \(x=y\), co wyklucza założenie zadania.
\[\frac{4(x-y)^2}{25}=0\iff x=y\]