Zamknięte1 pkt
Funkcja kwadratowa \(f\) określona wzorem \(f(x)=-2(x-1)^{2}+3\) jest rosnąca w przedziale
A
\(( -\infty,1\rangle\)
B
\(\langle-2,+\infty)\)
C
\(( -\infty,3\rangle\)
D
\(\langle1,+\infty)\)
Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie
1 Wyznaczenie wierzchołka
Wzór jest w postaci kanonicznej, więc wierzchołek ma pierwszą współrzędną równą 1. Ujemny współczynnik przy kwadracie oznacza, że funkcja rośnie do wierzchołka.
\[f(x)=-2(x-1)^2+3,\qquad x_w=1\]
2 Wyznaczenie przedziału
Dla liczb \(x_1<x_2\leq 1\) różnica wartości funkcji jest dodatnia, co potwierdza wzrost na całym przedziale.
\[f(x_2)-f(x_1)=-2(x_2-x_1)(x_1+x_2-2)>0\]
Odpowiedź
Funkcja jest rosnąca w przedziale \(( -\infty,1\rangle\). Odpowiedź A.
\[(-\infty,1\rangle\]
Sprawdzenie
Dla \(1\leq x_1<x_2\) oba czynniki \(x_2-x_1\) i \(x_1+x_2-2\) są dodatnie, więc \(f(x_2)-f(x_1)<0\). Funkcja na prawo od 1 maleje, zatem wskazany przedział kończy się we właściwym miejscu.
\[1\leq x_1<x_2\implies -2(x_2-x_1)(x_1+x_2-2)<0\]