Zadanie 35 — matura 2022, czerwiec | Matematyka podstawowa, F-2015

Matura 2022 · czerwiec · F-2015 · poziom podstawowy

Otwarte5 pkt

Geometria analityczna na płaszczyźnie kartezjańskiej

Punkt \(A=(1,-3)\) jest wierzchołkiem trójkąta \(ABC\), w którym \(|AC|=|BC|\). Punkt \(S=(5,-1)\) jest środkiem odcinka \(AB\). Wierzchołek \(C\) tego trójkąta leży na prostej o równaniu \(y=x+10\). Oblicz współrzędne wierzchołków \(B\) i \(C\) tego trójkąta.

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Wyznaczenie punktu B

Ponieważ S jest środkiem odcinka AB, jego współrzędne są średnimi współrzędnych końców odcinka.

\[\frac{1+x_B}{2}=5,\quad \frac{-3+y_B}{2}=-1\quad\Longrightarrow\quad B=(9,1)\]

2 Wyznaczenie prostej, na której leży C

Z równości |AC|=|BC| wynika, że C leży na symetralnej odcinka AB. Prosta AB ma współczynnik kierunkowy \(\frac12\), więc prostopadła do niej symetralna ma współczynnik \(-2\) i przechodzi przez S.

\[\frac{1-(-3)}{9-1}=\frac12,\qquad y+1=-2(x-5),\qquad y=-2x+9\]

3 Wyznaczenie punktu C

Punkt C leży także na prostej podanej w zadaniu, więc rozwiązujemy równania obu prostych.

\[x+10=-2x+9\quad\Longrightarrow\quad x=-\frac13,\qquad y=-\frac13+10=\frac{29}{3}\]

Odpowiedź

Wierzchołki mają współrzędne \(B=(9,1)\) oraz \(C=\left(-\frac13,\frac{29}{3}\right)\).

\[B=(9,1),\qquad C=\left(-\frac13,\frac{29}{3}\right)\]

Sprawdzenie

Środek odcinka AB to \((5,-1)\), a punkt C spełnia równanie \(y=x+10\). Kwadraty długości AC i BC są równe, zatem \(|AC|=|BC|\).

\[\left(\frac{1+9}{2},\frac{-3+1}{2}\right)=(5,-1),\quad -\frac13+10=\frac{29}{3},\quad |AC|^2=\left(-\frac43\right)^2+\left(\frac{38}{3}\right)^2=\frac{1460}{9}=\left(-\frac{28}{3}\right)^2+\left(\frac{26}{3}\right)^2=|BC|^2\]