Otwarte2 pkt
Dany jest trapez prostokątny \(ABCD\). Podstawa \(AB\) tego trapezu jest równa \(26\), a ramię \(BC\) ma długość \(24\). Przekątna \(AC\) tego trapezu jest prostopadła do ramienia \(BC\) (zobacz rysunek). Oblicz długość ramienia \(AD\).
Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie
1 Obliczenie przekątnej
Przekątna AC jest prostopadła do BC, więc trójkąt ABC jest prostokątny. Z twierdzenia Pitagorasa obliczamy AC.
\[AC^2=AB^2-BC^2=26^2-24^2=100,\qquad AC=10\]
2 Obliczenie ramienia AD
Ponieważ CD jest równoległe do AB, a AD jest do nich prostopadłe, ramię AD jest wysokością trójkąta ABC opuszczoną na AB. Porównujemy dwa wzory na jego pole.
\[\frac{AC\cdot BC}{2}=\frac{AB\cdot AD}{2},\qquad AD=\frac{10\cdot24}{26}=\frac{120}{13}\]
Odpowiedź
Długość ramienia AD wynosi \(\frac{120}{13}\).
\[AD=\frac{120}{13}\]
Sprawdzenie
Boki trójkąta spełniają twierdzenie Pitagorasa. Pole obliczone z przekątnej i ramienia BC jest równe polu obliczonemu z podstawy i otrzymanej wysokości.
\[10^2+24^2=26^2,\qquad \frac{10\cdot24}{2}=\frac{26\cdot\frac{120}{13}}{2}=120\]