Matematyka — matura 2019

Liczba \(\log_{\sqrt{7}} 7\) jest równa

\(2\)

\(7\)

\(\sqrt{7}\)

\(\frac{1}{2}\)

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Zastosowanie definicji logarytmu

Logarytm wskazuje wykładnik, do którego trzeba podnieść podstawę, aby otrzymać 7. Podstawa \(\sqrt{7}\) jest dodatnia i różna od 1.

\[\log_{\sqrt{7}}7=x\iff(\sqrt{7})^x=7\]

2 Wyznaczenie wykładnika

Ponieważ kwadrat pierwiastka z 7 jest równy 7, szukany wykładnik wynosi 2.

\[(\sqrt{7})^2=7\implies x=2\]

Odpowiedź

Wynik to 2, odpowiedź A.

\[\log_{\sqrt{7}}7=2\]

Sprawdzenie

Podniesienie podstawy logarytmu do otrzymanej potęgi daje 7, więc wynik spełnia definicję.

\[(\sqrt{7})^2=7\]

Zadanie 2

Matura 2019 · sierpień · F-2015 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Kwadrat liczby \(8-3\sqrt{7}\) jest równy

\(127+48\sqrt{7}\)

\(127-48\sqrt{7}\)

\(1-48\sqrt{7}\)

\(1+48\sqrt{7}\)

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Podnieś liczbę do kwadratu

Stosujemy wzór na kwadrat różnicy, aby uwzględnić wyraz mieszany.

\[(8-3\sqrt{7})^2=8^2-2\cdot8\cdot3\sqrt{7}+(3\sqrt{7})^2\]

2 Oblicz składniki

Korzystamy z równości \((\sqrt{7})^2=7\) i dodajemy liczby całkowite.

\[64-48\sqrt{7}+9\cdot7=127-48\sqrt{7}\]

Odpowiedź

Wynik to \(127-48\sqrt{7}\), czyli odpowiedź B.

\[127-48\sqrt{7}\]

Sprawdzenie

Ponieważ \(3\sqrt{7}<8\), kwadrat jest dodatni. Otrzymany wynik też jest dodatni: \((48\sqrt{7})^2=16128<16129=127^2\), więc \(48\sqrt{7}<127\).

\[0<127-48\sqrt{7}\]

Zadanie 3

Matura 2019 · sierpień · F-2015 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Jeżeli \(75\%\) liczby \(a\) jest równe \(177\) i \(59\%\) liczby \(b\) jest równe \(177\), to

\(b-a=26\)

\(b-a=64\)

\(a-b=26\)

\(a-b=64\)

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Obliczenie liczby a

Dzielimy 177 przez 75%, aby znaleźć całą liczbę a.

\[a=\frac{177}{0{,}75}=236\]

2 Obliczenie liczby b

Dzielimy 177 przez 59%, aby znaleźć całą liczbę b.

\[b=\frac{177}{0{,}59}=300\]

3 Porównanie liczb

Odejmujemy mniejszą liczbę od większej, aby wskazać pasującą odpowiedź.

\[b-a=300-236=64\]

Odpowiedź

Odpowiedź B: b − a = 64.

\[b-a=64\]

Sprawdzenie

Obie liczby spełniają warunki zadania: 75% z 236 i 59% z 300 wynosi 177.

\[0{,}75\cdot236=177,\qquad 0{,}59\cdot300=177\]

Zadanie 4

Matura 2019 · sierpień · F-2015 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Równanie \(x(5x+1)=5x+1\) ma dokładnie

jedno rozwiązanie: \(x=1\).

dwa rozwiązania: \(x=1\) i \(x=-1\).

dwa rozwiązania: \(x=-\frac{1}{5}\) i \(x=1\).

dwa rozwiązania: \(x=\frac{1}{5}\) i \(x=-1\).

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Przenieś wyrazy na jedną stronę

Aby zastosować zasadę iloczynu równego zeru, wyłączamy wspólny czynnik.

\[x(5x+1)-(5x+1)=0\quad\Longleftrightarrow\quad(x-1)(5x+1)=0\]

2 Wyznacz rozwiązania

Iloczyn jest równy zeru, gdy co najmniej jeden z jego czynników jest równy zeru.

\[x-1=0\;\lor\;5x+1=0\quad\Longleftrightarrow\quad x=1\;\lor\;x=-\frac{1}{5}\]

Odpowiedź

Równanie ma dokładnie dwa rozwiązania. Odpowiedź C.

\[x=1\;\lor\;x=-\frac{1}{5}\]

Sprawdzenie

Dla obu wartości lewa i prawa strona równania są równe. Rozkład na dwa czynniki liniowe wyklucza inne rozwiązania.

\[x=1:\;1(5\cdot1+1)=6=5\cdot1+1;\qquad x=-\frac{1}{5}:\;-\frac{1}{5}\left(5\cdot\left(-\frac{1}{5}\right)+1\right)=0=5\cdot\left(-\frac{1}{5}\right)+1\]

Zadanie 5

Matura 2019 · sierpień · F-2015 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Układy równań

Para liczb \(x=3\) i \(y=1\) jest rozwiązaniem układu równań \(\begin{cases}-x+12y=a^2\\2x+ay=9\end{cases}\) dla

\(a=\frac{7}{3}\)

\(a=-3\)

\(a=3\)

\(a=-\frac{7}{3}\)

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Podstawienie do pierwszego równania

Ponieważ podana para jest rozwiązaniem, musi spełniać pierwsze równanie. Stąd wyznaczamy możliwe wartości parametru.

\[-3+12\cdot1=a^2\quad\Longrightarrow\quad a^2=9\quad\Longrightarrow\quad a=3\ \text{lub}\ a=-3\]

2 Podstawienie do drugiego równania

Drugi warunek wskazuje, która z tych wartości pasuje do całego układu.

\[2\cdot3+a\cdot1=9\quad\Longrightarrow\quad 6+a=9\quad\Longrightarrow\quad a=3\]

Odpowiedź

Poprawna odpowiedź: C, a = 3.

\[a=3\]

Sprawdzenie

Dla a = 3 oraz x = 3, y = 1 lewa strona pierwszego równania wynosi 9, czyli a², a lewa strona drugiego wynosi 9. Oba równania są spełnione.

\[-3+12\cdot1=9=3^2,\qquad 2\cdot3+3\cdot1=9\]

Zadanie 6

Matura 2019 · sierpień · F-2015 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Równanie \(\frac{(x-2)(x+4)}{(x-4)^2}=0\) ma dokładnie

jedno rozwiązanie: \(x=2\).

jedno rozwiązanie: \(x=-2\).

dwa rozwiązania: \(x=2\), \(x=-4\).

dwa rozwiązania: \(x=-2\), \(x=4\).

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Wyznaczenie dziedziny

Mianownik ułamka nie może być zerem, więc wykluczamy wartość 4.

\[(x-4)^2\ne 0\quad\Longrightarrow\quad x\ne 4\]

2 Wyznaczenie miejsc zerowych

Ułamek jest równy zeru, gdy jego licznik jest zerem, a mianownik jest różny od zera.

\[(x-2)(x+4)=0\quad\Longrightarrow\quad x=2\ \text{lub}\ x=-4\]

3 Wybór odpowiedzi

Obie otrzymane wartości należą do dziedziny, więc równanie ma dwa rozwiązania.

\[x\in\{-4,2\}\]

Odpowiedź

C — dwa rozwiązania: x = 2 i x = −4.

\[x\in\{-4,2\}\]

Sprawdzenie

Dla obu wartości licznik wynosi zero, a mianownik jest dodatni: odpowiednio 4 i 64. Obie spełniają równanie.

\[x=2:\ \frac{0}{(2-4)^2}=0;\qquad x=-4:\ \frac{0}{(-4-4)^2}=0\]

Zadanie 7

Matura 2019 · sierpień · F-2015 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Funkcje

Miejscami zerowymi funkcji kwadratowej \(f\) określonej wzorem \(f(x)=9-(3-x)^2\) są liczby

\(0\) oraz \(3\)

\(-6\) oraz \(6\)

\(0\) oraz \(-6\)

\(0\) oraz \(6\)

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Rozłóż wzór na czynniki

Korzystamy ze wzoru na różnicę kwadratów, aby łatwo wyznaczyć miejsca zerowe.

\[f(x)=3^2-(3-x)^2=(3-(3-x))(3+(3-x))=x(6-x)\]

2 Wyznacz miejsca zerowe

Iloczyn jest równy zeru, gdy co najmniej jeden z jego czynników jest równy zeru.

\[x(6-x)=0\quad\Longleftrightarrow\quad x=0\ \text{lub}\ x=6\]

Odpowiedź

Miejsca zerowe to 0 oraz 6. Odpowiedź D.

\[x_1=0,\quad x_2=6\]

Sprawdzenie

Po podstawieniu obu liczb do podanego wzoru otrzymujemy zero.

\[f(0)=9-3^2=0,\qquad f(6)=9-(-3)^2=0\]

Zadanie 8

Matura 2019 · sierpień · F-2015 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Funkcje

Na rysunku przedstawiono fragment paraboli będącej wykresem funkcji kwadratowej \(g\). Wierzchołkiem tej paraboli jest punkt \(W=(1,1)\).

Zbiorem wartości funkcji \(g\) jest przedział

Wykres paraboli skierowanej ramionami w dół, z wierzchołkiem W=(1,1), osiami x i y oraz siatką współrzędnych.

\(( -\infty,0\rangle\)

\(\langle 0,2\rangle\)

\(\langle 1,+\infty)\)

\(( -\infty,1\rangle\)

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Wyznaczenie największej wartości

Ramiona paraboli są skierowane w dół, więc funkcja osiąga największą wartość w wierzchołku W=(1,1).

\[g(1)=1,\qquad g(x)\leq 1\]

2 Wyznaczenie zbioru wartości

Parabola jest wykresem funkcji kwadratowej, więc jej ramiona biegną nieograniczenie w dół. Funkcja przyjmuje zatem wszystkie wartości nie większe od 1.

\[Z_g=(-\infty,1]\]

Odpowiedź

Przedział od minus nieskończoności do 1 włącznie — odpowiedź D.

\[(-\infty,1]\]

Sprawdzenie

Wartość 1 należy do zbioru wartości, ponieważ g(1)=1. Żadna wartość większa od 1 do niego nie należy, gdyż wierzchołek jest najwyższym punktem paraboli.

\[g(1)=1=\max g\]

Zadanie 9

Matura 2019 · sierpień · F-2015 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Geometria analityczna na płaszczyźnie kartezjańskiej

Liczbą większą od \(5\) jest

\(\left(\frac{1}{25}\right)^{-\frac{1}{2}}\)

\(\left(\frac{1}{25}\right)^{-\frac{1}{5}}\)

\(125^{\frac{2}{3}}\)

\(125^{\frac{1}{3}}\)

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Obliczenie potęg

Sprowadzamy podstawy do potęg liczby 5 i korzystamy z reguły \((a^m)^n=a^{mn}\).

\[A=(5^{-2})^{-\frac12}=5,\quad B=(5^{-2})^{-\frac15}=5^{\frac25},\quad C=(5^3)^{\frac23}=25,\quad D=(5^3)^{\frac13}=5\]

2 Porównanie z 5

Ponieważ \(\frac25<1\), mamy \(5^{\frac25}<5\). Jedynie \(25\) jest większe od \(5\).

\[B<5,\quad A=D=5,\quad C=25>5\]

Odpowiedź

Odpowiedź C: 25.

\[125^{\frac23}=25\]

Sprawdzenie

Sześcian 5 to 125, więc pierwiastek sześcienny z 125 wynosi 5, a jego kwadrat wynosi 25. Pozostałe odpowiedzi są równe 5 lub od niego mniejsze.

\[(125^{\frac13})^2=5^2=25>5\]

Zadanie 10

Matura 2019 · sierpień · F-2015 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Punkt \(A=(a,3)\) leży na prostej określonej równaniem \(y=\frac{3}{4}x+6\). Stąd wynika, że

\(a=-4\)

\(a=4\)

\(a=\frac{33}{4}\)

\(a=\frac{39}{4}\)

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Podstawienie współrzędnych

Ponieważ punkt A leży na prostej, jego współrzędne spełniają równanie tej prostej.

\[3=\frac{3}{4}a+6\]

2 Obliczenie a

Odejmujemy 6 od obu stron, a następnie mnożymy przez \(\frac{4}{3}\).

\[-3=\frac{3}{4}a\quad\Rightarrow\quad a=-3\cdot\frac{4}{3}=-4\]

Odpowiedź

Odpowiedź A: \(a=-4\).

\[a=-4\]

Sprawdzenie

Po podstawieniu \(a=-4\) równanie prostej daje \(y=3\), więc punkt rzeczywiście leży na prostej.

\[\frac{3}{4}\cdot(-4)+6=-3+6=3\]

Zadanie 11

Matura 2019 · sierpień · F-2015 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Ciągi

W ciągu arytmetycznym \((a_n)\), określonym dla \(n\geq 1\), dane są dwa wyrazy: \(a_1=-11\) i \(a_9=5\). Suma dziewięciu początkowych wyrazów tego ciągu jest równa

\(-24\)

\(-27\)

\(-16\)

\(-18\)

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Obliczenie sumy

W ciągu arytmetycznym suma dziewięciu wyrazów jest równa dziewięciokrotności średniej pierwszego i dziewiątego wyrazu.

\[S_9=\frac{9(a_1+a_9)}{2}=\frac{9(-11+5)}{2}=-27\]

Odpowiedź

B. Suma wynosi −27.

\[S_9=-27\]

Sprawdzenie

Różnica ciągu wynosi 2, więc środkowy wyraz to −3. Suma dziewięciu wyrazów jest równa 9 · (−3) = −27.

\[r=\frac{5-(-11)}{8}=2,\quad a_5=-11+4\cdot2=-3,\quad S_9=9\cdot(-3)=-27\]

Zadanie 12

Matura 2019 · sierpień · F-2015 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Ciągi

Wszystkie wyrazy ciągu geometrycznego \((a_n)\), określonego dla \(n\geq 1\), są liczbami dodatnimi. Drugi wyraz tego ciągu jest równy \(162\), a piąty wyraz jest równy \(48\). Oznacza to, że iloraz tego ciągu jest równy

\(\frac{2}{3}\)

\(\frac{3}{4}\)

\(\frac{1}{3}\)

\(\frac{1}{2}\)

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Zapisanie zależności

Od drugiego do piątego wyrazu wykonujemy trzy kroki ciągu geometrycznego, więc mnożymy przez iloraz trzy razy.

\[a_5=a_2q^3\quad\Rightarrow\quad 48=162q^3\]

2 Obliczenie ilorazu

Dzielimy przez 162 i wyciągamy pierwiastek sześcienny. Dodatniość wyrazów potwierdza, że iloraz jest dodatni.

\[q^3=\frac{48}{162}=\frac{8}{27}=\left(\frac{2}{3}\right)^3\quad\Rightarrow\quad q=\frac{2}{3}\]

Odpowiedź

Iloraz ciągu wynosi 2/3. Odpowiedź A.

\[q=\frac{2}{3}\]

Sprawdzenie

Dla obliczonego ilorazu piąty wyraz wynosi 48, a dodatni iloraz zachowuje dodatniość wszystkich wyrazów.

\[a_5=162\left(\frac{2}{3}\right)^3=162\cdot\frac{8}{27}=48\]

Zadanie 13

Matura 2019 · sierpień · F-2015 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Trygonometria

Cosinus kąta ostrego \(\alpha\) jest równy \(\frac{12}{13}\). Wtedy

\(\sin\alpha=\frac{13}{12}\)

\(\sin\alpha=\frac{1}{13}\)

\(\sin\alpha=\frac{5}{13}\)

\(\sin\alpha=\frac{25}{169}\)

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Obliczenie kwadratu sinusa

Korzystamy z tożsamości trygonometrycznej, aby wyznaczyć sinus z podanego cosinusa.

\[\sin^2\alpha=1-\cos^2\alpha=1-\left(\frac{12}{13}\right)^2=\frac{25}{169}\]

2 Wyznaczenie sinusa

Kąt jest ostry, więc jego sinus jest dodatni.

\[\sin\alpha=\sqrt{\frac{25}{169}}=\frac{5}{13}\]

Odpowiedź

Odpowiedź C.

\[\sin\alpha=\frac{5}{13}\]

Sprawdzenie

Otrzymany sinus jest dodatni, a jego kwadrat wraz z kwadratem podanego cosinusa daje 1.

\[\left(\frac{5}{13}\right)^2+\left(\frac{12}{13}\right)^2=\frac{25+144}{169}=1\]

Zadanie 14

Matura 2019 · sierpień · F-2015 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Planimetria

Dany jest trójkąt równoramienny \(ABC\), w którym \(|AC|=|BC|\). Na podstawie \(AB\) tego trójkąta leży punkt \(D\), taki że \(|AD|=|CD|\), \(|BC|=|BD|\) oraz \(\angle BCD=72^\circ\) (zobacz rysunek). Wynika stąd, że kąt \(ACD\) ma miarę

Trójkąt ABC z punktem D na podstawie AB, odcinkiem CD i zaznaczonym kątem BCD równym 72°.

\(38^\circ\)

\(36^\circ\)

\(42^\circ\)

\(40^\circ\)

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Kąty w trójkącie BCD

Ponieważ |BC|=|BD|, kąty przy podstawie CD są równe. Z sumy kątów trójkąta obliczamy kąt przy B.

\[\angle BDC=\angle BCD=72^\circ,\qquad \angle CBD=180^\circ-72^\circ-72^\circ=36^\circ\]

2 Kąty w trójkącie ABC

Punkt D leży na AB, więc kąt ABC jest równy CBD. Z równości |AC|=|BC| wynika równość kątów przy podstawie AB.

\[\angle ABC=\angle BAC=36^\circ,\qquad \angle ACB=180^\circ-2\cdot36^\circ=108^\circ\]

3 Szukany kąt

Odcinek CD dzieli kąt ACB na kąty ACD i BCD, więc odejmujemy znany kąt.

\[\angle ACD=108^\circ-72^\circ=36^\circ\]

Odpowiedź

Kąt ACD ma miarę 36°, odpowiedź B.

\[\angle ACD=36^\circ\]

Sprawdzenie

Ponieważ A, D i B leżą na jednej prostej, kąt ADC ma 108°. W trójkącie ACD kąty przy A i C mają zatem po 36°, co potwierdza warunek |AD|=|CD|.

\[\angle ADC=180^\circ-72^\circ=108^\circ,\qquad \angle ACD=180^\circ-108^\circ-36^\circ=36^\circ\]

Zadanie 15

Matura 2019 · sierpień · F-2015 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Geometria analityczna na płaszczyźnie kartezjańskiej

Okrąg, którego środkiem jest punkt \(S=(a,5)\), jest styczny do osi \(Oy\) i do prostej o równaniu \(y=2\). Promień tego okręgu jest równy

\(3\)

\(5\)

\(2\)

\(4\)

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Odległość środka od prostej

Promień okręgu stycznego do prostej jest równy odległości jego środka od tej prostej. Dla prostej poziomej odejmujemy współrzędne pionowe.

\[r=|5-2|=3\]

Odpowiedź

Promień wynosi 3. Odpowiedź A.

\[r=3\]

Sprawdzenie

Styczność do osi Oy jest możliwa: środek musi leżeć w odległości 3 od tej osi, czyli mieć pierwszą współrzędną 3 lub −3.

\[|a|=r=3\quad\Longrightarrow\quad a=3\ \text{lub}\ a=-3\]

Zadanie 16

Matura 2019 · sierpień · F-2015 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Geometria analityczna na płaszczyźnie kartezjańskiej

Podstawą ostrosłupa prawidłowego czworokątnego \(ABCDS\) jest kwadrat \(ABCD\) (zobacz rysunek). Wszystkie ściany boczne tego ostrosłupa są trójkątami równobocznymi. Miara kąta \(SAC\) jest równa

Ostrosłup o wierzchołku S i kwadratowej podstawie ABCD; zaznaczono krawędzie oraz przekątną AC.

\(60^\circ\)

\(45^\circ\)

\(90^\circ\)

\(75^\circ\)

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Wyznaczenie boków trójkąta ASC

Ściany boczne są równoboczne, więc krawędzie boczne mają długość boku podstawy. Przekątna kwadratu wynika z twierdzenia Pitagorasa.

\[AB=a>0,\quad AS=CS=a,\quad AC=\sqrt{a^2+a^2}=a\sqrt{2}\]

2 Obliczenie kąta SAC

W trójkącie ASC zachodzi odwrotność twierdzenia Pitagorasa, zatem kąt ASC jest prosty. Ponieważ AS=CS, pozostałe kąty są równe.

\[AS^2+CS^2=2a^2=AC^2,\qquad \angle SAC=\frac{180^\circ-90^\circ}{2}=45^\circ\]

Odpowiedź

Kąt SAC ma miarę 45°. Odpowiedź B.

\[\angle SAC=45^\circ\]

Sprawdzenie

W trójkącie prostokątnym ASC stosunek przyprostokątnej AS do przeciwprostokątnej AC wynosi 1/√2, co odpowiada kątowi 45° przy A.

\[\cos\angle SAC=\frac{AS}{AC}=\frac{a}{a\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{2}}{2}=\cos45^\circ\]

Zadanie 17

Matura 2019 · sierpień · F-2015 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Proste o równaniach \(y=(4m+1)x-19\) oraz \(y=(5m-4)x+20\) są równoległe, gdy

\(m=5\)

\(m=-\frac{1}{4}\)

\(m=\frac{5}{4}\)

\(m=-5\)

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Porównanie współczynników kierunkowych

Proste zapisane w postaci \(y=ax+b\) są równoległe, gdy mają równe współczynniki kierunkowe. Dlatego przyrównujemy współczynniki przy \(x\).

\[4m+1=5m-4\]

2 Wyznaczenie parametru

Przenosimy wyrazy z \(m\) na jedną stronę równania, a liczby na drugą.

\[4m+1=5m-4\quad\Longrightarrow\quad m=5\]

Odpowiedź

Odpowiedź A: \(m=5\).

\[m=5\]

Sprawdzenie

Dla \(m=5\) oba współczynniki kierunkowe wynoszą \(21\). Wyrazy wolne, \(-19\) i \(20\), są różne, więc proste są różne i równoległe.

\[4\cdot5+1=21=5\cdot5-4\]

Zadanie 18

Matura 2019 · sierpień · F-2015 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Geometria analityczna na płaszczyźnie kartezjańskiej

W układzie współrzędnych punkt \(S=(40,40)\) jest środkiem odcinka \(KL\), którego jednym z końców jest punkt \(K=(0,8)\). Zatem

\(L=(20,24)\)

\(L=(-80,-72)\)

\(L=(-40,-24)\)

\(L=(80,72)\)

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Zastosowanie wzoru na środek odcinka

Współrzędne środka są średnimi współrzędnych końców. Oznaczamy szukany punkt przez \(L=(x,y)\).

\[40=\frac{0+x}{2},\qquad 40=\frac{8+y}{2}\]

2 Wyznaczenie współrzędnych punktu L

Mnożymy oba równania przez 2 i obliczamy niewiadome.

\[x=80,\qquad y=80-8=72\]

Odpowiedź

Punkt \(L=(80,72)\), więc poprawna jest odpowiedź D.

\[L=(80,72)\]

Sprawdzenie

Średnie współrzędnych punktów K i L wynoszą 40, zatem ich środkiem jest podany punkt S.

\[\left(\frac{0+80}{2},\frac{8+72}{2}\right)=(40,40)=S\]

Zadanie 19

Matura 2019 · sierpień · F-2015 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Geometria analityczna na płaszczyźnie kartezjańskiej

Punkt \(P=(-6,-8)\), przekształcono najpierw w symetrii względem osi \(Ox\), a potem w symetrii względem osi \(Oy\). W wyniku tych przekształceń otrzymano punkt \(Q\). Zatem

\(Q=(6,8)\)

\(Q=(-6,-8)\)

\(Q=(8,6)\)

\(Q=(-8,-6)\)

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Symetria względem osi Ox

W symetrii względem osi Ox pierwsza współrzędna pozostaje bez zmian, a druga zmienia znak.

\[(-6,-8)\longmapsto(-6,8)\]

2 Symetria względem osi Oy

W symetrii względem osi Oy pierwsza współrzędna zmienia znak, a druga pozostaje bez zmian.

\[(-6,8)\longmapsto(6,8)=Q\]

Odpowiedź

Odpowiedź A: Q=(6,8).

\[Q=(6,8)\]

Sprawdzenie

Po obu symetriach każda współrzędna punktu P zmieniła znak: −6 na 6 oraz −8 na 8. Wynik zgadza się z odpowiedzią A.

\[(-6,-8)\longmapsto(6,8)\]

Zadanie 20

Matura 2019 · sierpień · F-2015 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Geometria analityczna na płaszczyźnie kartezjańskiej

W układzie współrzędnych na płaszczyźnie danych jest 5 punktów: \(A=(1,4)\), \(B=(-5,-1)\), \(C=(-5,3)\), \(D=(6,-4)\), \(P=(-30,-76)\).

Punkt \(P\) należy do tej samej ćwiartki układu współrzędnych co punkt

\(A\)

\(B\)

\(C\)

\(D\)

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Ustalenie ćwiartki punktu P

Obie współrzędne punktu P są ujemne, więc leży on w III ćwiartce.

\[x_P=-30<0,\quad y_P=-76<0\]

2 Wybór punktu

Punkt B również ma obie współrzędne ujemne, więc leży w tej samej ćwiartce.

\[x_B=-5<0,\quad y_B=-1<0\]

Odpowiedź

Punkt B, odpowiedź B.

\[B=(-5,-1)\]

Sprawdzenie

Pozostałe punkty leżą w innych ćwiartkach: A w I, C w II, a D w IV.

\[A:(+,+),\quad C:(-,+),\quad D:(+,-)\]

Zadanie 21

Matura 2019 · sierpień · F-2015 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Dany jest prostopadłościan o wymiarach \(30\text{ cm}\times 40\text{ cm}\times 120\text{ cm}\) (zobacz rysunek), a ponadto dane są cztery odcinki \(a\), \(b\), \(c\), \(d\), o długościach – odpowiednio – 119 cm, 121 cm, 129 cm i 131 cm.

Przekątna tego prostopadłościanu jest dłuższa

Prostopadłościan z oznaczonymi wymiarami 120 cm, 40 cm i 30 cm.

tylko od odcinka \(a\).

tylko od odcinków \(a\) i \(b\).

tylko od odcinków \(a\), \(b\) i \(c\).

od wszystkich czterech danych odcinków.

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Obliczenie przekątnej

Z twierdzenia Pitagorasa zastosowanego do przekątnej podstawy, a następnie do przekątnej prostopadłościanu, otrzymujemy:

\[p=\sqrt{30^2+40^2+120^2}=\sqrt{16900}=130\text{ cm}\]

2 Porównanie długości

Przekątna jest dłuższa od odcinków a, b i c, ale krótsza od odcinka d.

\[119<121<129<130<131\]

Odpowiedź

Przekątna jest dłuższa tylko od odcinków a, b i c. Odpowiedź C.

\[\boxed{C}\]

Sprawdzenie

Kwadrat obliczonej długości jest równy sumie kwadratów trzech wymiarów.

\[130^2=16900=30^2+40^2+120^2\]

Zadanie 22

Matura 2019 · sierpień · F-2015 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Pole powierzchni całkowitej pewnego stożka jest 3 razy większe od pola powierzchni pewnej kuli. Promień tej kuli jest równy 2 i jest taki sam jak promień podstawy tego stożka. Tworząca tego stożka ma długość równą

\(12\)

\(11\)

\(24\)

\(22\)

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Pole kuli

Korzystamy ze wzoru na pole powierzchni kuli o promieniu 2.

\[P_k=4\pi r^2=4\pi\cdot 2^2=16\pi\]

2 Pole stożka

Pole całkowite stożka jest trzykrotnością pola kuli. Podstawiamy promień podstawy 2 do wzoru na pole stożka i obliczamy tworzącą.

\[\pi r^2+\pi rl=3P_k\quad\Rightarrow\quad 4\pi+2\pi l=48\pi\quad\Rightarrow\quad l=22\]

Odpowiedź

Tworząca ma długość 22. Odpowiedź D.

\[l=22\]

Sprawdzenie

Dla tworzącej 22 pole stożka wynosi 48π, czyli trzy razy tyle co pole kuli 16π. Tworząca jest też dłuższa od promienia podstawy.

\[4\pi+2\pi\cdot22=48\pi=3\cdot16\pi,\qquad 22>2\]

Zadanie 23

Matura 2019 · sierpień · F-2015 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Rachunek prawdopodobieństwa i statystyka

Średnia arytmetyczna dziesięciu liczb naturalnych \(3, 10, 5, x, x, x, x, 12, 19, 7\) jest równa 12. Mediana tych liczb jest równa

\(14\)

\(12\)

\(16\)

\(x\)

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Obliczenie wartości x

Średnia dziesięciu liczb wynosi 12, więc ich suma wynosi 120. Sześć znanych liczb ma sumę 56, a x występuje cztery razy.

\[3+10+5+4x+12+19+7=10\cdot12,\quad 56+4x=120,\quad x=16\]

2 Obliczenie mediany

Po uporządkowaniu dziesięciu liczb mediana jest średnią piątej i szóstej liczby.

\[3,5,7,10,12,16,16,16,16,19;\qquad \frac{12+16}{2}=14\]

Odpowiedź

Mediana wynosi 14. Odpowiedź A.

\[14\]

Sprawdzenie

Suma uporządkowanych liczb wynosi 120, więc ich średnia to 12. Piąta i szósta liczba to 12 i 16, co potwierdza medianę 14.

\[\frac{3+5+7+10+12+16+16+16+16+19}{10}=12,\qquad \frac{12+16}{2}=14\]

Zadanie 24

Matura 2019 · sierpień · F-2015 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Kombinatoryka

Wszystkich liczb naturalnych czterocyfrowych parzystych, w których występują wyłącznie cyfry 1, 2, 3, jest

\(54\)

\(81\)

\(8\)

\(27\)

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Ustalenie cyfry jedności

Liczba jest parzysta, więc jej ostatnią cyfrą musi być jedyna dostępna cyfra parzysta, czyli 2.

\[c_4=2\]

2 Policzenie możliwości

Na każdą z trzech pozostałych pozycji można niezależnie wybrać jedną z cyfr 1, 2, 3. Każdy taki wybór daje liczbę czterocyfrową.

\[3\cdot3\cdot3\cdot1=27\]

Odpowiedź

D. Jest 27 takich liczb.

\[27\]

Sprawdzenie

Wszystkich liczb z podanych cyfr jest 81. Każda z trzech możliwych cyfr jedności występuje w tylu samo układach, więc z cyfrą jedności 2 jest ich 81 : 3 = 27.

\[3^4:3=81:3=27\]

Zadanie 25

Matura 2019 · sierpień · F-2015 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Rachunek prawdopodobieństwa i statystyka

W grupie 60 osób (kobiet i mężczyzn) jest 35 kobiet. Z tej grupy losujemy jedną osobę. Prawdopodobieństwo wylosowania każdej osoby jest takie samo. Prawdopodobieństwo zdarzenia polegającego na tym, że wylosujemy mężczyznę, jest równe

\(\frac{1}{60}\)

\(\frac{1}{25}\)

\(\frac{7}{12}\)

\(\frac{5}{12}\)

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Liczba mężczyzn

Od liczby wszystkich osób odejmujemy liczbę kobiet.

\[60-35=25\]

2 Prawdopodobieństwo

Każda osoba ma jednakową szansę wylosowania, więc dzielimy liczbę mężczyzn przez liczbę wszystkich osób i skracamy ułamek.

\[P(\text{mężczyzna})=\frac{25}{60}=\frac{5}{12}\]

Odpowiedź

Prawdopodobieństwo wynosi 5/12. Odpowiedź D.

\[\frac{5}{12}\]

Sprawdzenie

W grupie jest 25 mężczyzn i 35 kobiet, razem 60 osób. Ich prawdopodobieństwa sumują się do 1.

\[\frac{5}{12}+\frac{35}{60}=\frac{25}{60}+\frac{35}{60}=1\]

Zadanie 26

Matura 2019 · sierpień · F-2015 · poziom podstawowy

Otwarte2 pkt

Rozwiąż równanie \((x^2-16)(x^3-1)=0\).

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Zastosowanie zasady iloczynu zerowego

Iloczyn jest równy zeru, gdy co najmniej jeden z jego czynników jest równy zeru.

\[x^2-16=0\quad\text{lub}\quad x^3-1=0\]

2 Rozwiązanie obu równań

W pierwszym równaniu korzystamy z różnicy kwadratów, a w drugim z faktu, że jedyną liczbą rzeczywistą, której sześcian jest równy 1, jest 1.

\[(x-4)(x+4)=0\Rightarrow x=-4\ \text{lub}\ x=4;\qquad x^3=1\Rightarrow x=1\]

Odpowiedź

Rozwiązania równania to −4, 1 i 4.

\[x\in\{-4,1,4\}\]

Sprawdzenie

Dla −4 i 4 pierwszy czynnik wynosi zero, a dla 1 drugi czynnik wynosi zero. Każda z tych liczb spełnia równanie; oba rozpatrzone równania czynników dały wszystkie swoje rozwiązania rzeczywiste.

\[(-4)^2-16=0,\qquad 4^2-16=0,\qquad 1^3-1=0\]

Zadanie 27

Matura 2019 · sierpień · F-2015 · poziom podstawowy

Otwarte2 pkt

Rozwiąż nierówność \(2x^2-5x+3\leq 0\).

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Rozłóż trójmian na czynniki

Postać iloczynowa pozwala wyznaczyć miejsca zerowe i zbadać znak wyrażenia.

\[2x^2-5x+3=(2x-3)(x-1),\qquad (2x-3)(x-1)\leq 0\]

2 Wyznacz rozwiązania

Iloczyn jest niedodatni między miejscami zerowymi. Końce przedziału należą do rozwiązania, ponieważ nierówność jest nieostra.

\[x=1\ \text{lub}\ x=\frac{3}{2},\qquad x\in\left[1,\frac{3}{2}\right]\]

Odpowiedź

Zbiorem rozwiązań jest przedział od 1 do 3/2 wraz z końcami.

\[x\in\left[1,\frac{3}{2}\right]\]

Sprawdzenie

Na obu końcach iloczyn wynosi zero. Między nimi pierwszy czynnik jest ujemny, a drugi dodatni, więc iloczyn jest ujemny. Poza przedziałem oba czynniki mają ten sam znak, więc iloczyn jest dodatni.

\[x=1\ \text{lub}\ x=\frac{3}{2}\Rightarrow(2x-3)(x-1)=0;\qquad 1<x<\frac{3}{2}\Rightarrow 2x-3<0<x-1\]

Zadanie 28

Matura 2019 · sierpień · F-2015 · poziom podstawowy

Otwarte2 pkt

Geometria analityczna na płaszczyźnie kartezjańskiej

Wykaż, że dla każdej liczby dodatniej \(x\) prawdziwa jest nierówność \(x+\frac{1-x}{x}\geq 1\).

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Przekształcenie nierówności

Odejmujemy 1 od lewej strony, aby wykazać, że otrzymana różnica jest nieujemna.

\[x+\frac{1-x}{x}-1=x+\frac{1}{x}-2=\frac{x^2-2x+1}{x}=\frac{(x-1)^2}{x}\]

2 Ocena znaku

Kwadrat jest nieujemny, a mianownik jest dodatni, ponieważ \(x>0\). Zatem różnica jest nieujemna.

\[\frac{(x-1)^2}{x}\geq 0\]

Odpowiedź

Nierówność jest prawdziwa dla każdego \(x>0\). Równość zachodzi dla \(x=1\).

\[x+\frac{1-x}{x}\geq 1\quad\text{dla }x>0\]

Sprawdzenie

Dla \(x=1\) lewa strona wynosi 1. Dla każdego innego \(x>0\) licznik \((x-1)^2\) jest dodatni, więc nierówność jest ostra.

\[1+\frac{1-1}{1}=1\]

Zadanie 29

Matura 2019 · sierpień · F-2015 · poziom podstawowy

Otwarte2 pkt

Planimetria

Wierzchołki \(A\) i \(C\) trójkąta \(ABC\) leżą na okręgu o promieniu \(r\), a środek \(S\) tego okręgu leży na boku \(AB\) trójkąta (zobacz rysunek). Prosta \(BC\) jest styczna do tego okręgu w punkcie \(C\), a ponadto \(|AC|=r\sqrt{3}\). Wykaż, że kąt \(ACB\) ma miarę \(120^\circ\).

Okrąg o środku S oraz trójkąt ABC; punkty A i C leżą na okręgu, S leży na boku AB, a prosta BC jest styczna do okręgu w punkcie C.

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Wyznaczenie kąta przy środku okręgu

Promienie SA i SC mają długość r. Z twierdzenia cosinusów w trójkącie ASC obliczamy kąt ASC.

\[\cos\angle ASC=\frac{r^2+r^2-(r\sqrt{3})^2}{2r^2}=-\frac12,\qquad \angle ASC=120^\circ\]

2 Wyznaczenie kątów przy A i B

Trójkąt ASC jest równoramienny. Ponieważ A, S i B leżą na jednej prostej, kąt CSB jest przyległy do kąta ASC. Promień SC jest prostopadły do stycznej BC.

\[\angle BAC=\angle SAC=\frac{180^\circ-120^\circ}{2}=30^\circ,\qquad \angle CSB=60^\circ,\qquad \angle ABC=90^\circ-60^\circ=30^\circ\]

3 Obliczenie kąta ACB

Korzystamy z sumy kątów trójkąta ABC.

\[\angle ACB=180^\circ-30^\circ-30^\circ=120^\circ\]

Odpowiedź

Kąt ACB ma miarę 120°.

\[\angle ACB=120^\circ\]

Sprawdzenie

Otrzymane kąty trójkąta ABC sumują się do 180°. Ponadto w trójkącie ASC kąt 120° daje z twierdzenia cosinusów wymaganą długość AC.

\[30^\circ+30^\circ+120^\circ=180^\circ,\qquad AC^2=r^2+r^2-2r^2\cos120^\circ=3r^2\]

Zadanie 30

Matura 2019 · sierpień · F-2015 · poziom podstawowy

Otwarte2 pkt

Rachunek prawdopodobieństwa i statystyka

Ze zbioru wszystkich liczb naturalnych dwucyfrowych losujemy jedną liczbę. Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia \(A\) polegającego na tym, że wylosowana liczba ma w zapisie dziesiętnym cyfrę dziesiątek, która należy do zbioru \(\{1,3,5,7,9\}\), i jednocześnie cyfrę jedności, która należy do zbioru \(\{0,2,4,6,8\}\).

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Liczba możliwych wyników

Liczby dwucyfrowe to liczby od 10 do 99, więc wszystkich wyników losowania jest 90.

\[99-10+1=90\]

2 Liczba wyników sprzyjających

Cyfrę dziesiątek można wybrać na 5 sposobów, a cyfrę jedności niezależnie na 5 sposobów. Z zasady mnożenia otrzymujemy liczbę wyników sprzyjających.

\[|A|=5\cdot 5=25\]

3 Obliczenie prawdopodobieństwa

Dzielimy liczbę wyników sprzyjających przez liczbę wszystkich jednakowo prawdopodobnych wyników.

\[P(A)=\frac{25}{90}=\frac{5}{18}\]

Odpowiedź

Prawdopodobieństwo zdarzenia A wynosi 5/18.

\[P(A)=\frac{5}{18}\]

Sprawdzenie

Pozostałych liczb jest 65, a 25+65=90. Otrzymane prawdopodobieństwo należy do przedziału od 0 do 1.

\[90-25=65,\qquad 0<\frac{5}{18}<1\]

Zadanie 31

Matura 2019 · sierpień · F-2015 · poziom podstawowy

Otwarte2 pkt

Przekątne rombu \(ABCD\) przecinają się w punkcie \(S=\left(-\frac{21}{2},-1\right)\). Punkty \(A\) i \(C\) leżą na prostej o równaniu \(y=\frac{1}{3}x+\frac{5}{2}\). Wyznacz równanie prostej \(BD\).

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Wyznaczenie nachylenia przekątnej BD

Przekątne rombu są prostopadłe, więc iloczyn współczynników kierunkowych prostych AC i BD wynosi −1.

\[\frac{1}{3}\cdot a_{BD}=-1\quad\Rightarrow\quad a_{BD}=-3\]

2 Wyznaczenie równania prostej

Prosta BD przechodzi przez punkt przecięcia przekątnych S. Podstawiamy jego współrzędne do równania prostej o wyznaczonym nachyleniu.

\[y+1=-3\left(x+\frac{21}{2}\right)\quad\Rightarrow\quad y=-3x-\frac{65}{2}\]

Odpowiedź

Równanie prostej BD:

\[y=-3x-\frac{65}{2}\]

Sprawdzenie

Punkt S należy do obu prostych, a ich współczynniki kierunkowe mają iloczyn −1, więc proste są prostopadłe.

\[-3\cdot\left(-\frac{21}{2}\right)-\frac{65}{2}=-1,\qquad \frac{1}{3}\cdot(-3)=-1\]

Zadanie 32

Matura 2019 · sierpień · F-2015 · poziom podstawowy

Otwarte4 pkt

Ciągi

W ciągu arytmetycznym \(\left(a_1,a_2,\ldots,a_{39},a_{40}\right)\) suma wyrazów tego ciągu o numerach parzystych jest równa 1340, a suma wyrazów ciągu o numerach nieparzystych jest równa 1400. Wyznacz ostatni wyraz tego ciągu arytmetycznego.

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Wyznaczenie różnicy

Każdy wyraz o numerze nieparzystym jest o różnicę ciągu mniejszy od następującego po nim wyrazu parzystego. Takich par jest 20, więc różnica sum pozwala obliczyć różnicę ciągu.

\[1340-1400=20d,\quad d=-3\]

2 Obliczenie ostatniego wyrazu

Wyrazy o numerach parzystych tworzą ciąg arytmetyczny złożony z 20 wyrazów. Korzystamy ze wzoru na jego sumę oraz z zależności między pierwszym i ostatnim wyrazem.

\[1340=\frac{20(a_2+a_{40})}{2},\quad a_2+a_{40}=134;\qquad a_{40}=a_2+38d=a_2-114;\qquad 2a_2-114=134,\quad a_2=124,\quad a_{40}=10\]

Odpowiedź

Ostatni wyraz ciągu wynosi 10.

\[a_{40}=10\]

Sprawdzenie

Z obliczonych wartości wynika, że pierwszy wyraz to 127, a wyraz trzydziesty dziewiąty to 13. Suma 20 wyrazów o numerach nieparzystych wynosi 1400, zgodnie z treścią zadania.

\[a_1=124-(-3)=127,\quad a_{39}=127+38(-3)=13,\quad \frac{20(127+13)}{2}=1400\]

Zadanie 33

Matura 2019 · sierpień · F-2015 · poziom podstawowy

Otwarte4 pkt

Planimetria

Środek okręgu leży w odległości 10 cm od cięciwy tego okręgu. Długość tej cięciwy jest o 22 cm większa od promienia tego okręgu. Oblicz promień tego okręgu.

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Ułożenie równania

Prostopadła poprowadzona ze środka okręgu dzieli cięciwę na połowy. Promień, odległość 10 cm i połowa cięciwy tworzą trójkąt prostokątny, więc stosujemy twierdzenie Pitagorasa.

\[r^2=10^2+\left(\frac{r+22}{2}\right)^2\]

2 Obliczenie promienia

Usuwamy mianownik i rozwiązujemy równanie kwadratowe. Ujemny pierwiastek odrzucamy, ponieważ promień jest dodatni.

\[4r^2=400+(r+22)^2\quad\Longrightarrow\quad 3r^2-44r-884=0\quad\Longrightarrow\quad (r-26)(3r+34)=0\quad\Longrightarrow\quad r=26\ \text{cm}\]

Odpowiedź

Promień okręgu wynosi 26 cm.

\[r=26\ \text{cm}\]

Sprawdzenie

Dla promienia 26 cm cięciwa ma długość 48 cm, czyli o 22 cm więcej niż promień. Jej połowa ma 24 cm, a odległość środka od cięciwy wynosi 10 cm, ponieważ 10² + 24² = 26².

\[26+22=48,\qquad 10^2+\left(\frac{48}{2}\right)^2=100+576=676=26^2\]

Zadanie 34

Matura 2019 · sierpień · F-2015 · poziom podstawowy

Otwarte5 pkt