Otwarte2 pkt
Rozwiąż nierówność \(2x^2-5x+3\leq 0\).
Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie
1 Rozłóż trójmian na czynniki
Postać iloczynowa pozwala wyznaczyć miejsca zerowe i zbadać znak wyrażenia.
\[2x^2-5x+3=(2x-3)(x-1),\qquad (2x-3)(x-1)\leq 0\]
2 Wyznacz rozwiązania
Iloczyn jest niedodatni między miejscami zerowymi. Końce przedziału należą do rozwiązania, ponieważ nierówność jest nieostra.
\[x=1\ \text{lub}\ x=\frac{3}{2},\qquad x\in\left[1,\frac{3}{2}\right]\]
Odpowiedź
Zbiorem rozwiązań jest przedział od 1 do 3/2 wraz z końcami.
\[x\in\left[1,\frac{3}{2}\right]\]
Sprawdzenie
Na obu końcach iloczyn wynosi zero. Między nimi pierwszy czynnik jest ujemny, a drugi dodatni, więc iloczyn jest ujemny. Poza przedziałem oba czynniki mają ten sam znak, więc iloczyn jest dodatni.
\[x=1\ \text{lub}\ x=\frac{3}{2}\Rightarrow(2x-3)(x-1)=0;\qquad 1<x<\frac{3}{2}\Rightarrow 2x-3<0<x-1\]