Otwarte2 pkt
Wykaż, że dla każdej liczby dodatniej \(x\) prawdziwa jest nierówność \(x+\frac{1-x}{x}\geq 1\).
Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie
1 Przekształcenie nierówności
Odejmujemy 1 od lewej strony, aby wykazać, że otrzymana różnica jest nieujemna.
\[x+\frac{1-x}{x}-1=x+\frac{1}{x}-2=\frac{x^2-2x+1}{x}=\frac{(x-1)^2}{x}\]
2 Ocena znaku
Kwadrat jest nieujemny, a mianownik jest dodatni, ponieważ \(x>0\). Zatem różnica jest nieujemna.
\[\frac{(x-1)^2}{x}\geq 0\]
Odpowiedź
Nierówność jest prawdziwa dla każdego \(x>0\). Równość zachodzi dla \(x=1\).
\[x+\frac{1-x}{x}\geq 1\quad\text{dla }x>0\]
Sprawdzenie
Dla \(x=1\) lewa strona wynosi 1. Dla każdego innego \(x>0\) licznik \((x-1)^2\) jest dodatni, więc nierówność jest ostra.
\[1+\frac{1-1}{1}=1\]