Otwarte2 pkt
Wierzchołki \(A\) i \(C\) trójkąta \(ABC\) leżą na okręgu o promieniu \(r\), a środek \(S\) tego okręgu leży na boku \(AB\) trójkąta (zobacz rysunek). Prosta \(BC\) jest styczna do tego okręgu w punkcie \(C\), a ponadto \(|AC|=r\sqrt{3}\). Wykaż, że kąt \(ACB\) ma miarę \(120^\circ\).
Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie
1 Wyznaczenie kąta przy środku okręgu
Promienie SA i SC mają długość r. Z twierdzenia cosinusów w trójkącie ASC obliczamy kąt ASC.
\[\cos\angle ASC=\frac{r^2+r^2-(r\sqrt{3})^2}{2r^2}=-\frac12,\qquad \angle ASC=120^\circ\]
2 Wyznaczenie kątów przy A i B
Trójkąt ASC jest równoramienny. Ponieważ A, S i B leżą na jednej prostej, kąt CSB jest przyległy do kąta ASC. Promień SC jest prostopadły do stycznej BC.
\[\angle BAC=\angle SAC=\frac{180^\circ-120^\circ}{2}=30^\circ,\qquad \angle CSB=60^\circ,\qquad \angle ABC=90^\circ-60^\circ=30^\circ\]
3 Obliczenie kąta ACB
Korzystamy z sumy kątów trójkąta ABC.
\[\angle ACB=180^\circ-30^\circ-30^\circ=120^\circ\]
Odpowiedź
Kąt ACB ma miarę 120°.
\[\angle ACB=120^\circ\]
Sprawdzenie
Otrzymane kąty trójkąta ABC sumują się do 180°. Ponadto w trójkącie ASC kąt 120° daje z twierdzenia cosinusów wymaganą długość AC.
\[30^\circ+30^\circ+120^\circ=180^\circ,\qquad AC^2=r^2+r^2-2r^2\cos120^\circ=3r^2\]