Otwarte4 pkt
Środek okręgu leży w odległości 10 cm od cięciwy tego okręgu. Długość tej cięciwy jest o 22 cm większa od promienia tego okręgu. Oblicz promień tego okręgu.
Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie
1 Ułożenie równania
Prostopadła poprowadzona ze środka okręgu dzieli cięciwę na połowy. Promień, odległość 10 cm i połowa cięciwy tworzą trójkąt prostokątny, więc stosujemy twierdzenie Pitagorasa.
\[r^2=10^2+\left(\frac{r+22}{2}\right)^2\]
2 Obliczenie promienia
Usuwamy mianownik i rozwiązujemy równanie kwadratowe. Ujemny pierwiastek odrzucamy, ponieważ promień jest dodatni.
\[4r^2=400+(r+22)^2\quad\Longrightarrow\quad 3r^2-44r-884=0\quad\Longrightarrow\quad (r-26)(3r+34)=0\quad\Longrightarrow\quad r=26\ \text{cm}\]
Odpowiedź
Promień okręgu wynosi 26 cm.
\[r=26\ \text{cm}\]
Sprawdzenie
Dla promienia 26 cm cięciwa ma długość 48 cm, czyli o 22 cm więcej niż promień. Jej połowa ma 24 cm, a odległość środka od cięciwy wynosi 10 cm, ponieważ 10² + 24² = 26².
\[26+22=48,\qquad 10^2+\left(\frac{48}{2}\right)^2=100+576=676=26^2\]