Zadanie 32 — matura 2019, sierpień | Matematyka podstawowa, F-2015

Matura 2019 · sierpień · F-2015 · poziom podstawowy

Otwarte4 pkt

W ciągu arytmetycznym \(\left(a_1,a_2,\ldots,a_{39},a_{40}\right)\) suma wyrazów tego ciągu o numerach parzystych jest równa 1340, a suma wyrazów ciągu o numerach nieparzystych jest równa 1400. Wyznacz ostatni wyraz tego ciągu arytmetycznego.

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Wyznaczenie różnicy

Każdy wyraz o numerze nieparzystym jest o różnicę ciągu mniejszy od następującego po nim wyrazu parzystego. Takich par jest 20, więc różnica sum pozwala obliczyć różnicę ciągu.

\[1340-1400=20d,\quad d=-3\]

2 Obliczenie ostatniego wyrazu

Wyrazy o numerach parzystych tworzą ciąg arytmetyczny złożony z 20 wyrazów. Korzystamy ze wzoru na jego sumę oraz z zależności między pierwszym i ostatnim wyrazem.

\[1340=\frac{20(a_2+a_{40})}{2},\quad a_2+a_{40}=134;\qquad a_{40}=a_2+38d=a_2-114;\qquad 2a_2-114=134,\quad a_2=124,\quad a_{40}=10\]

Odpowiedź

Ostatni wyraz ciągu wynosi 10.

\[a_{40}=10\]

Sprawdzenie

Z obliczonych wartości wynika, że pierwszy wyraz to 127, a wyraz trzydziesty dziewiąty to 13. Suma 20 wyrazów o numerach nieparzystych wynosi 1400, zgodnie z treścią zadania.

\[a_1=124-(-3)=127,\quad a_{39}=127+38(-3)=13,\quad \frac{20(127+13)}{2}=1400\]