Zadanie 34 — matura 2019, sierpień | Matematyka podstawowa, F-2015

Matura 2019 · sierpień · F-2015 · poziom podstawowy

Otwarte5 pkt

Długość krawędzi bocznej ostrosłupa prawidłowego czworokątnego \(ABCDS\) jest równa 12. (zobacz rysunek). Krawędź boczna tworzy z wysokością tego ostrosłupa kąt \(\alpha\) taki, że \(\operatorname{tg}\alpha=\frac{2}{\sqrt{5}}\). Oblicz objętość tego ostrosłupa.

Ostrosłup prawidłowy czworokątny ABCDS z zaznaczonym środkiem podstawy O, wysokością SO, krawędzią boczną długości 12 i kątem α przy wierzchołku S.

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Wyznaczenie wysokości i odcinka AO

W ostrosłupie prawidłowym wysokość SO jest prostopadła do podstawy, więc trójkąt SAO jest prostokątny. Z tangensa kąta przy S mamy stosunek przyprostokątnych 2 do √5; twierdzenie Pitagorasa daje wtedy stosunek boków 2:√5:3.

\[\operatorname{tg}\alpha=\frac{AO}{SO}=\frac{2}{\sqrt5},\qquad SA=12=3\cdot4,\qquad AO=8,\quad SO=4\sqrt5.\]

2 Obliczenie pola podstawy

Punkt O jest środkiem kwadratu, więc AO stanowi połowę jego przekątnej. Pole kwadratu jest równe połowie kwadratu przekątnej.

\[AC=2AO=16,\qquad P_{ABCD}=\frac{AC^2}{2}=\frac{16^2}{2}=128.\]

3 Obliczenie objętości

Objętość ostrosłupa to jedna trzecia iloczynu pola podstawy i wysokości.

\[V=\frac13P_{ABCD}\cdot SO=\frac13\cdot128\cdot4\sqrt5=\frac{512\sqrt5}{3}.\]

Odpowiedź

Objętość ostrosłupa wynosi 512√5/3 jednostek sześciennych.

\[V=\frac{512\sqrt5}{3}\]

Sprawdzenie

Otrzymane długości spełniają warunek kąta i długości krawędzi bocznej.

\[\frac{AO}{SO}=\frac{8}{4\sqrt5}=\frac{2}{\sqrt5},\qquad AO^2+SO^2=8^2+(4\sqrt5)^2=144=SA^2.\]