Zamknięte1 pkt
Podstawą ostrosłupa prawidłowego czworokątnego \(ABCDS\) jest kwadrat \(ABCD\) (zobacz rysunek). Wszystkie ściany boczne tego ostrosłupa są trójkątami równobocznymi. Miara kąta \(SAC\) jest równa
A
\(60^\circ\)
B
\(45^\circ\)
C
\(90^\circ\)
D
\(75^\circ\)
Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie
1 Wyznaczenie boków trójkąta ASC
Ściany boczne są równoboczne, więc krawędzie boczne mają długość boku podstawy. Przekątna kwadratu wynika z twierdzenia Pitagorasa.
\[AB=a>0,\quad AS=CS=a,\quad AC=\sqrt{a^2+a^2}=a\sqrt{2}\]
2 Obliczenie kąta SAC
W trójkącie ASC zachodzi odwrotność twierdzenia Pitagorasa, zatem kąt ASC jest prosty. Ponieważ AS=CS, pozostałe kąty są równe.
\[AS^2+CS^2=2a^2=AC^2,\qquad \angle SAC=\frac{180^\circ-90^\circ}{2}=45^\circ\]
Odpowiedź
Kąt SAC ma miarę 45°. Odpowiedź B.
\[\angle SAC=45^\circ\]
Sprawdzenie
W trójkącie prostokątnym ASC stosunek przyprostokątnej AS do przeciwprostokątnej AC wynosi 1/√2, co odpowiada kątowi 45° przy A.
\[\cos\angle SAC=\frac{AS}{AC}=\frac{a}{a\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{2}}{2}=\cos45^\circ\]