Matematyka — matura 2015

Liczba $2\sqrt{18}-\sqrt{32}$ jest równa

$2^{-\frac{3}{2}}$

$2^{-\frac{1}{2}}$

$2^{\frac{1}{2}}$

$2^{\frac{3}{2}}$

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Uproszczenie pierwiastków

Wyłączamy największe kwadraty spod pierwiastków, aby otrzymać wyrazy podobne.

\[2\sqrt{18}-\sqrt{32}=2\sqrt{9\cdot2}-\sqrt{16\cdot2}=6\sqrt2-4\sqrt2\]

2 Obliczenie i zapis jako potęgi

Odejmujemy współczynniki przy pierwiastku, a następnie korzystamy z równości $\sqrt2=2^{\frac12}$.

\[6\sqrt2-4\sqrt2=2\sqrt2=2^1\cdot2^{\frac12}=2^{\frac32}\]

Odpowiedź

Odpowiedź D.

\[2^{\frac32}\]

Sprawdzenie

Ponieważ $2^{\frac32}=2\sqrt2$, wynik jest równy obliczonej różnicy $6\sqrt2-4\sqrt2$.

\[2^{\frac32}=2\sqrt2=6\sqrt2-4\sqrt2\]

Zadanie 2

Matura 2015 · czerwiec · F-2015 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Wartość wyrażenia $\frac{\sqrt[5]{-32}\cdot 2^{-1}}{4}\cdot 2^2$ jest równa

$-\frac{1}{2}$

$\frac{1}{2}$

$1$

$-1$

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Obliczenie pierwiastka

Ponieważ piąta potęga liczby −2 jest równa −32, pierwiastek ma wartość −2.

\[\sqrt[5]{-32}=-2\]

2 Obliczenie wartości wyrażenia

Podstawiamy obliczony pierwiastek oraz wartości potęg liczby 2.

\[\frac{(-2)\cdot 2^{-1}}{4}\cdot 2^2=\frac{(-2)\cdot\frac{1}{2}}{4}\cdot 4=-1\]

Odpowiedź

Wartość wyrażenia wynosi −1. Odpowiedź D.

\[-1\]

Sprawdzenie

Podstawienie −2 za pierwiastek daje w liczniku −1, a dzielenie przez 4 i mnożenie przez 4 się znoszą. Wynik to −1.

\[\frac{-1}{4}\cdot 4=-1\]

Zadanie 3

Matura 2015 · czerwiec · F-2015 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Przy 23-procentowej stawce podatku VAT cena brutto samochodu jest równa 45 018 zł. Jaka jest cena netto tego samochodu?

34 663,86 zł

36 600 zł

44 995 zł

55 372,14 zł

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Zapisanie zależności

Cena brutto stanowi 123% ceny netto, ponieważ zawiera cenę netto i 23% podatku VAT.

\[45018=1{,}23\cdot C_{\mathrm{netto}}\]

2 Obliczenie ceny netto

Dzielimy cenę brutto przez 1,23, aby otrzymać cenę przed doliczeniem podatku.

\[C_{\mathrm{netto}}=\frac{45018}{1{,}23}=36600\ \mathrm{zł}\]

Odpowiedź

Cena netto samochodu wynosi 36 600 zł. Odpowiedź B.

\[C_{\mathrm{netto}}=36600\ \mathrm{zł}\]

Sprawdzenie

23% z 36 600 zł to 8 418 zł. Po doliczeniu podatku otrzymujemy podaną cenę brutto: 36 600 zł + 8 418 zł = 45 018 zł.

\[36600+0{,}23\cdot36600=36600+8418=45018\ \mathrm{zł}\]

Zadanie 4

Matura 2015 · czerwiec · F-2015 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Wyrażenia algebraiczne

Wyrażenie $3a^2-12ab+12b^2$ może być przekształcone do postaci

$3(a^2-b^2)^2$

$3(a-2b^2)^2$

$3(a-2b)^2$

$3(a+2b)^2$

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Wyłącz wspólny czynnik

Każdy składnik jest podzielny przez 3, więc wyłączamy 3 przed nawias.

\[3a^2-12ab+12b^2=3(a^2-4ab+4b^2)\]

2 Zastosuj wzór skróconego mnożenia

Wyrażenie w nawiasie jest kwadratem różnicy, ponieważ $4b^2=(2b)^2$ oraz $-4ab=-2\cdot a\cdot 2b$.

\[3(a^2-4ab+4b^2)=3(a-2b)^2\]

Odpowiedź

Poprawna odpowiedź: C.

\[3(a-2b)^2\]

Sprawdzenie

Po rozwinięciu otrzymujemy wyrażenie podane w zadaniu.

\[3(a-2b)^2=3(a^2-4ab+4b^2)=3a^2-12ab+12b^2\]

Zadanie 5

Matura 2015 · czerwiec · F-2015 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Układy równań

Para liczb $x=2$ i $y=1$ jest rozwiązaniem układu równań $\begin{cases}x+ay=5\\2x-y=3\end{cases}$, gdy

$a=-3$

$a=-2$

$a=2$

$a=3$

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Podstawienie do pierwszego równania

Aby wyznaczyć parametr, podstawiamy podane wartości $x=2$ i $y=1$.

\[2+a\cdot1=5\quad\Rightarrow\quad a=3\]

Odpowiedź

Poprawna odpowiedź: D, czyli $a=3$.

\[a=3\]

Sprawdzenie

Dla $x=2$, $y=1$ i $a=3$ oba równania są spełnione.

\[2+3\cdot1=5,\qquad 2\cdot2-1=3\]

Zadanie 6

Matura 2015 · czerwiec · F-2015 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Geometria analityczna na płaszczyźnie kartezjańskiej

Równanie $2x^2+11x+3=0$

nie ma rozwiązań rzeczywistych.

ma dokładnie jedno rozwiązanie rzeczywiste.

ma dwa dodatnie rozwiązania rzeczywiste.

ma dwa ujemne rozwiązania rzeczywiste.

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Liczba rozwiązań

Obliczamy wyróżnik, aby ustalić liczbę pierwiastków rzeczywistych.

\[\Delta=11^2-4\cdot2\cdot3=97>0\]

2 Znaki pierwiastków

Z wzorów Viète’a iloczyn pierwiastków jest dodatni, więc mają ten sam znak. Ich suma jest ujemna, zatem oba są ujemne.

\[x_1x_2=\frac{3}{2}>0,\qquad x_1+x_2=-\frac{11}{2}<0\]

Odpowiedź

Równanie ma dwa ujemne rozwiązania rzeczywiste. Odpowiedź D.

\[x_{1,2}=\frac{-11\pm\sqrt{97}}{4}<0\]

Sprawdzenie

Ponieważ 97 < 121, mamy √97 < 11, więc oba liczniki we wzorze na pierwiastki są ujemne. Ponadto ich suma i iloczyn zgadzają się z wzorami Viète’a.

\[\frac{-11+\sqrt{97}}{4}+\frac{-11-\sqrt{97}}{4}=-\frac{11}{2},\qquad \frac{(-11+\sqrt{97})(-11-\sqrt{97})}{16}=\frac{3}{2}\]

Zadanie 7

Matura 2015 · czerwiec · F-2015 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Trygonometria

Wartość wyrażenia $\sin 120^\circ-\cos 30^\circ$ jest równa

$\sin 90^\circ$

$\sin 150^\circ$

$\sin 0^\circ$

$\sin 60^\circ$

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Obliczenie wartości funkcji

Korzystamy z tożsamości dla kąta dopełniającego do 180° oraz ze znanych wartości funkcji trygonometrycznych.

\[\sin 120^\circ=\sin 60^\circ=\frac{\sqrt{3}}{2},\qquad \cos 30^\circ=\frac{\sqrt{3}}{2}\]

2 Odjęcie wartości

Obie wartości są równe, więc ich różnica wynosi zero.

\[\sin 120^\circ-\cos 30^\circ=\frac{\sqrt{3}}{2}-\frac{\sqrt{3}}{2}=0\]

Odpowiedź

Odpowiedź C.

\[0=\sin 0^\circ\]

Sprawdzenie

W odpowiedzi C sinus kąta 0° wynosi 0, czyli tyle samo co obliczone wyrażenie.

\[\sin 0^\circ=0\]

Zadanie 8

Matura 2015 · czerwiec · F-2015 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Trygonometria

Wyrażenie $3\sin^3\alpha\cos\alpha+3\sin\alpha\cos^3\alpha$ może być przekształcone do postaci

$3$

$3\sin\alpha\cos\alpha$

$3\sin^3\alpha\cos^3\alpha$

$6\sin^4\alpha\cos^4\alpha$

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Wyłączenie wspólnego czynnika

Oba składniki zawierają $3\sin\alpha\cos\alpha$, więc wyłączamy go przed nawias.

\[3\sin^3\alpha\cos\alpha+3\sin\alpha\cos^3\alpha=3\sin\alpha\cos\alpha(\sin^2\alpha+\cos^2\alpha)\]

2 Zastosowanie tożsamości

Ponieważ $\sin^2\alpha+\cos^2\alpha=1$ dla każdego kąta, upraszczamy nawias.

\[3\sin\alpha\cos\alpha(\sin^2\alpha+\cos^2\alpha)=3\sin\alpha\cos\alpha\]

Odpowiedź

B. Wyrażenie ma postać $3\sin\alpha\cos\alpha$.

\[3\sin\alpha\cos\alpha\]

Sprawdzenie

Po wymnożeniu otrzymanej postaci przez $\sin^2\alpha+\cos^2\alpha=1$ wracamy do wyrażenia z zadania.

\[3\sin\alpha\cos\alpha=3\sin\alpha\cos\alpha(\sin^2\alpha+\cos^2\alpha)=3\sin^3\alpha\cos\alpha+3\sin\alpha\cos^3\alpha\]

Zadanie 9

Matura 2015 · czerwiec · F-2015 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Funkcje

Na rysunku przedstawiony jest fragment prostej o równaniu $y=ax+b$ przechodzącej przez punkty $(0,-2)$ i $(6,2)$.

Wtedy

Wykres prostej w układzie współrzędnych z zaznaczonymi punktami (0,−2) i (6,2) oraz liniami przerywanymi wskazującymi współrzędne punktu (6,2).

$a=\frac{2}{3},\ b=-2$

$a=3,\ b=-2$

$a=\frac{3}{2},\ b=2$

$a=-3,\ b=2$

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Wyznaczenie wyrazu wolnego

Dla punktu o współrzędnej x równej 0 równanie prostej daje y=b. Z punktu (0,−2) otrzymujemy b=−2.

\[-2=a\cdot 0+b,\quad b=-2\]

2 Wyznaczenie współczynnika kierunkowego

Podstawiamy współrzędne punktu (6,2) oraz obliczone b, aby wyznaczyć a.

\[2=6a-2\quad\Rightarrow\quad 6a=4\quad\Rightarrow\quad a=\frac{2}{3}\]

Odpowiedź

Odpowiedź A: a=2/3, b=−2.

\[a=\frac{2}{3},\quad b=-2\]

Sprawdzenie

Dla x=0 otrzymujemy y=−2, a dla x=6 otrzymujemy y=2, więc równanie przechodzi przez oba podane punkty.

\[\frac{2}{3}\cdot 0-2=-2,\qquad \frac{2}{3}\cdot 6-2=2\]

Zadanie 10

Matura 2015 · czerwiec · F-2015 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Prosta $k$ przecina oś $Oy$ układu współrzędnych w punkcie $(0,6)$ i jest równoległa do prostej o równaniu $y=-3x$. Wówczas prosta $k$ przecina oś $Ox$ układu współrzędnych w punkcie

$(-12,0)$

$(-2,0)$

$(2,0)$

$(6,0)$

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Wyznaczenie równania prostej

Proste równoległe mają ten sam współczynnik kierunkowy, czyli −3. Ponieważ prosta k przechodzi przez punkt (0,6), jej wyraz wolny wynosi 6.

\[y=-3x+6\]

2 Wyznaczenie punktu przecięcia z osią Ox

Na osi Ox współrzędna y jest równa zeru, więc rozwiązujemy równanie względem x.

\[0=-3x+6\quad\Longrightarrow\quad x=2\]

Odpowiedź

Prosta k przecina oś Ox w punkcie (2,0). Odpowiedź C.

\[(2,0)\quad\text{— C}\]

Sprawdzenie

Punkt (2,0) spełnia równanie prostej, a jego druga współrzędna wynosi zero.

\[-3\cdot 2+6=0\]

Zadanie 11

Matura 2015 · czerwiec · F-2015 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Liczba niewymiernych rozwiązań równania $x^2(x+5)(2x-3)(x^2-7)=0$ jest równa

$0$

$1$

$5$

$2$

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Wyznaczenie rozwiązań

Iloczyn jest równy zeru, gdy co najmniej jeden z jego czynników jest równy zeru.

\[x^2=0\Rightarrow x=0,\quad x+5=0\Rightarrow x=-5,\quad 2x-3=0\Rightarrow x=\frac32,\quad x^2-7=0\Rightarrow x=\pm\sqrt7\]

2 Policzenie rozwiązań niewymiernych

Liczby 0, −5 i 3/2 są wymierne. Ponieważ 7 nie jest kwadratem liczby całkowitej, obie liczby ±√7 są niewymierne.

\[\sqrt7,\ -\sqrt7\quad\Rightarrow\quad 2\text{ rozwiązania niewymierne}\]

Odpowiedź

D. Liczba rozwiązań niewymiernych wynosi 2.

\[D\;\text{—}\;2\]

Sprawdzenie

Dla obu wskazanych liczb czynnik x²−7 jest równy zeru, więc spełniają równanie. Pozostałe rozwiązania są wymierne.

\[(\pm\sqrt7)^2-7=7-7=0\]

Zadanie 12

Matura 2015 · czerwiec · F-2015 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Funkcje

Na rysunku przedstawiono wykres funkcji $f$.

Funkcja $f$ jest rosnąca w przedziale

$Wykres oznaczony $y=f(x)$ w układzie współrzędnych z osiami $x$ i $y$. Odcinki łączą punkty $(-2,6)$, $(1,6)$, $(5,-1)$, $(6,1)$ i $(9,1)$. Punkty końcowe są zaznaczone.$

$\langle-1,1\rangle$

$\langle1,5\rangle$

$\langle5,6\rangle$

$\langle6,8\rangle$

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Odczytanie przedziału wzrostu

Funkcja jest rosnąca tam, gdzie wraz ze wzrostem x rośnie jej wartość. Na wykresie dzieje się tak na odcinku od (5,−1) do (6,1).

\[f(5)=-1<1=f(6),\qquad x\in\langle 5,6\rangle\]

Odpowiedź

Funkcja f jest rosnąca w przedziale ⟨5,6⟩. Odpowiedź C.

\[\boxed{\mathrm{C}:\ \langle 5,6\rangle}\]

Sprawdzenie

Na tym odcinku wykres wznosi się od −1 do 1, więc wartość funkcji rośnie. Pozostałe podane przedziały odpowiadają odcinkom poziomym albo malejącemu.

\[\frac{f(6)-f(5)}{6-5}=\frac{1-(-1)}{1}=2>0\]

Zadanie 13

Matura 2015 · czerwiec · F-2015 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Ciągi

Ciąg geometryczny $(a_n)$ jest określony wzorem $a_n=2^n$ dla $n\geq 1$. Suma dziesięciu początkowych kolejnych wyrazów tego ciągu jest równa

$2(1-2^{10})$

$-2(1-2^{10})$

$2(1+2^{10})$

$-2(1+2^{10})$

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Wyznaczenie pierwszego wyrazu i ilorazu

Korzystamy ze wzoru ciągu, aby zastosować wzór na sumę dziesięciu początkowych wyrazów ciągu geometrycznego.

\[a_1=2^1=2,\qquad q=\frac{a_2}{a_1}=\frac{4}{2}=2\]

2 Obliczenie sumy

Ponieważ iloraz jest różny od 1, stosujemy wzór na sumę początkowych wyrazów ciągu geometrycznego i upraszczamy wynik.

\[S_{10}=a_1\frac{1-q^{10}}{1-q}=2\frac{1-2^{10}}{1-2}=-2(1-2^{10})=2046\]

Odpowiedź

B. Suma wynosi 2046.

\[S_{10}=-2(1-2^{10})=2046\]

Sprawdzenie

Po rozwinięciu odpowiedzi B otrzymujemy 2¹¹−2=2046, czyli sumę potęg od 2¹ do 2¹⁰.

\[-2(1-2^{10})=2^{11}-2=2046\]

Zadanie 14

Matura 2015 · czerwiec · F-2015 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Ciągi

Suma pierwszego i szóstego wyrazu pewnego ciągu arytmetycznego jest równa 13. Wynika stąd, że suma trzeciego i czwartego wyrazu tego ciągu jest równa

$13$

$12$

$7$

$6$

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Zapisanie wyrazów ciągu

W ciągu arytmetycznym każdy kolejny wyraz zwiększa się o tę samą różnicę r.

\[a_6=a_1+5r,\qquad a_3=a_1+2r,\qquad a_4=a_1+3r\]

2 Porównanie sum

Obie sumy mają takie samo wyrażenie algebraiczne, więc są równe.

\[a_1+a_6=2a_1+5r=13,\qquad a_3+a_4=2a_1+5r=13\]

Odpowiedź

Suma wynosi 13. Odpowiedź A.

\[a_3+a_4=13\]

Sprawdzenie

Od pierwszego do trzeciego wyrazu przybywa 2r, a od czwartego do szóstego także 2r. Zatem przesunięcie pierwszego wyrazu do trzeciego dokładnie równoważy przesunięcie szóstego do czwartego.

\[a_3-a_1=2r=a_6-a_4\quad\Longrightarrow\quad a_3+a_4=a_1+a_6=13\]

Zadanie 15

Matura 2015 · czerwiec · F-2015 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Planimetria

Miary kątów wewnętrznych pewnego trójkąta pozostają w stosunku $3:4:5$. Najmniejszy kąt wewnętrzny tego trójkąta ma miarę

$45^\circ$

$90^\circ$

$75^\circ$

$60^\circ$

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Zapisz miary kątów

Stosunek 3:4:5 oznacza, że kąty mają miary 3x, 4x i 5x dla pewnego x>0.

\[3x,\quad 4x,\quad 5x\]

2 Oblicz x

Suma kątów wewnętrznych trójkąta wynosi 180°.

\[3x+4x+5x=180^\circ\;\Rightarrow\;12x=180^\circ\;\Rightarrow\;x=15^\circ\]

3 Wyznacz najmniejszy kąt

Najmniejszemu kątowi odpowiadają trzy części stosunku.

\[3x=3\cdot15^\circ=45^\circ\]

Odpowiedź

A. Najmniejszy kąt ma miarę 45°.

\[45^\circ\]

Sprawdzenie

Pozostałe kąty mają miary 60° i 75°. Ich suma z 45° wynosi 180°, a stosunek wynosi 3:4:5.

\[45^\circ+60^\circ+75^\circ=180^\circ,\qquad 45:60:75=3:4:5\]

Zadanie 16

Matura 2015 · czerwiec · F-2015 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Planimetria

W trójkącie $ABC$, w którym $|AC|=|BC|$, na boku $AB$ wybrano punkt $D$ taki, że $|BD|=|CD|$ oraz $|\angle ACD|=21^\circ$ (zobacz rysunek).

Wynika stąd, że kąt $BCD$ ma miarę

Trójkąt ABC z punktem D na boku AB, odcinkiem CD i oznaczonym kątem ACD równym 21°.

$57^\circ$

$53^\circ$

$51^\circ$

$55^\circ$

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Oznaczenie kąta

Równość boków BD i CD oznacza, że kąty przy podstawie BC trójkąta BCD są równe.

\[x=\angle BCD=\angle DBC\]

2 Kąty przy podstawie ABC

Ponieważ D leży na AB, kąt DBC jest kątem ABC. Z równości AC i BC wynika równość kątów przy podstawie AB.

\[\angle ABC=\angle BAC=x\]

3 Suma kątów

Kąty ADC i CDB są przyległe. Obliczamy je z sumy kątów trójkąta ACD, a następnie stosujemy sumę kątów trójkąta BCD.

\[\angle ADC=180^\circ-x-21^\circ=159^\circ-x,\quad \angle CDB=21^\circ+x;\quad x+x+(21^\circ+x)=180^\circ,\quad x=53^\circ\]

Odpowiedź

Kąt BCD ma miarę 53°, odpowiedź B.

\[\angle BCD=53^\circ\]

Sprawdzenie

W trójkącie BCD kąty mają miary 53°, 53° i 74°, więc ich suma wynosi 180°. W trójkącie ABC kąty przy podstawie mają po 53°, a kąt przy C wynosi 21° + 53° = 74°; ich suma także wynosi 180°.

\[53^\circ+53^\circ+74^\circ=180^\circ\]

Zadanie 17

Matura 2015 · czerwiec · F-2015 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Planimetria

Długości boków trójkąta są liczbami całkowitymi. Jeden bok ma 7 cm, a drugi ma 2 cm. Trzeci bok tego trójkąta może mieć długość

12 cm

9 cm

6 cm

3 cm

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Wyznaczenie możliwych długości

W trójkącie trzeci bok musi być dłuższy od różnicy pozostałych boków i krótszy od ich sumy.

\[|7-2|<x<7+2\quad\Longrightarrow\quad 5<x<9\]

2 Wybór odpowiedzi

Spośród podanych długości tylko 6 cm jest liczbą całkowitą spełniającą ten warunek.

\[x=6\,\text{cm}\]

Odpowiedź

Trzeci bok może mieć długość 6 cm. Odpowiedź C.

\[x=6\,\text{cm}\quad(\text{C})\]

Sprawdzenie

Boki 7 cm, 2 cm i 6 cm spełniają nierówności trójkąta: suma każdych dwóch jest większa od trzeciego.

\[7+2>6,\quad 7+6>2,\quad 2+6>7\]

Zadanie 18

Matura 2015 · czerwiec · F-2015 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Trygonometria

Boki trójkąta mają długości 20 i 12, a kąt między tymi bokami ma miarę $120^\circ$. Pole tego trójkąta jest równe

$60$

$120$

$60\sqrt{3}$

$120\sqrt{3}$

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Obliczenie sinusa kąta

Kąt 120° jest rozwarty, a jego sinus jest równy sinusowi kąta 60°.

\[\sin 120^\circ=\sin 60^\circ=\frac{\sqrt{3}}{2}\]

2 Obliczenie pola

Stosujemy wzór na pole trójkąta z dwóch boków i kąta między nimi.

\[P=\frac{1}{2}\cdot 20\cdot 12\cdot\sin 120^\circ=120\cdot\frac{\sqrt{3}}{2}=60\sqrt{3}\]

Odpowiedź

Pole wynosi 60√3. Odpowiedź C.

\[P=60\sqrt{3}\]

Sprawdzenie

Wysokość opuszczona na bok długości 20 wynosi 6√3, więc obliczenie pola daje ten sam wynik.

\[h=12\sin 120^\circ=6\sqrt{3},\qquad P=\frac{20\cdot 6\sqrt{3}}{2}=60\sqrt{3}\]

Zadanie 19

Matura 2015 · czerwiec · F-2015 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Tworząca stożka o promieniu podstawy 3 ma długość 6 (zobacz rysunek).

Kąt $\alpha$ rozwarcia tego stożka jest równy

Stożek z zaznaczonym kątem rozwarcia α przy wierzchołku.

$30^\circ$

$45^\circ$

$60^\circ$

$90^\circ$

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Przekrój osiowy

Przekrój stożka przez jego oś jest trójkątem równoramiennym. Jego ramiona są tworzącymi, a podstawa jest średnicą podstawy stożka.

\[l=6,\qquad d=2r=2\cdot3=6\]

2 Wyznaczenie kąta

Wszystkie trzy boki przekroju mają długość 6, więc jest on trójkątem równobocznym. Kąt przy wierzchołku stożka ma zatem 60 stopni.

\[\alpha=60^\circ\]

Odpowiedź

Odpowiedź C.

\[\alpha=60^\circ\]

Sprawdzenie

W trójkącie równobocznym o boku 6 wysokość dzieli podstawę na odcinki długości 3, zgodne z podanym promieniem stożka.

\[\frac{d}{2}=\frac{6}{2}=3=r\]

Zadanie 20

Matura 2015 · czerwiec · F-2015 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Graniastosłup o podstawie ośmiokąta ma dokładnie

16 wierzchołków.

9 wierzchołków.

16 krawędzi.

8 krawędzi.

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Policz wierzchołki

Graniastosłup ma dwie podstawy. Każda z nich jest ośmiokątem, więc ma 8 wierzchołków.

\[2\cdot 8=16\]

Odpowiedź

A — 16 wierzchołków.

\[16\]

Sprawdzenie

Dwie podstawy dają łącznie 16 wierzchołków. Krawędzi jest 24, więc odpowiedzi dotyczące 8 lub 16 krawędzi są błędne.

\[8+8=16,\qquad 8+8+8=24\]

Zadanie 21

Matura 2015 · czerwiec · F-2015 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

W ostrosłupie czworokątnym, w którym wszystkie krawędzie mają tę samą długość, kąt nachylenia krawędzi bocznej do płaszczyzny podstawy ma miarę

$30^\circ$

$45^\circ$

$60^\circ$

$75^\circ$

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Ustalenie kształtu podstawy

Równe krawędzie podstawy tworzą romb. Równe krawędzie boczne oznaczają, że wierzchołki podstawy leżą na jednym okręgu, więc romb jest kwadratem.

\[AB=BC=CD=DA=SA=SB=SC=SD=a\]

2 Obliczenie kąta nachylenia

Rzutem wierzchołka ostrosłupa na podstawę jest środek kwadratu O. Odcinek AO jest rzutem krawędzi SA, więc szukanym kątem jest kąt SAO. Połowa przekątnej kwadratu ma długość $\frac{a\sqrt{2}}{2}$.

\[AO=\frac{a\sqrt{2}}{2},\qquad \cos\angle SAO=\frac{AO}{SA}=\frac{\sqrt{2}}{2},\qquad \angle SAO=45^\circ\]

Odpowiedź

Kąt ma miarę 45°, odpowiedź B.

\[45^\circ\quad\text{(B)}\]

Sprawdzenie

Z twierdzenia Pitagorasa wysokość SO wynosi $\frac{a\sqrt{2}}{2}$. Jest równa AO, zatem trójkąt prostokątny SAO ma dwa równe kąty ostre, po 45°.

\[SO=\sqrt{SA^2-AO^2}=\frac{a\sqrt{2}}{2}=AO\]

Zadanie 22

Matura 2015 · czerwiec · F-2015 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Liczba $0{,}3$ jest jednym z przybliżeń liczby $\frac{5}{16}$. Błąd względny tego przybliżenia, wyrażony w procentach, jest równy

$4\%$

$0{,}04\%$

$2{,}5\%$

$0{,}025\%$

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Obliczenie błędu bezwzględnego

Odejmujemy przybliżenie od dokładnej wartości i bierzemy wartość bezwzględną.

\[\left|\frac{5}{16}-0{,}3\right|=\left|\frac{5}{16}-\frac{3}{10}\right|=\frac{1}{80}\]

2 Obliczenie błędu względnego

Dzielimy błąd bezwzględny przez dokładną wartość liczby, a następnie zamieniamy wynik na procenty.

\[\frac{\frac{1}{80}}{\frac{5}{16}}=\frac{1}{25}=0{,}04=4\%\]

Odpowiedź

Błąd względny wynosi 4%, więc poprawna odpowiedź to A.

\[4\%\]

Sprawdzenie

Dokładna wartość to 0,3125, a różnica względem 0,3 wynosi 0,0125. Iloraz 0,0125 przez 0,3125 daje 0,04, czyli 4%.

\[\frac{0{,}0125}{0{,}3125}=0{,}04=4\%\]

Zadanie 23

Matura 2015 · czerwiec · F-2015 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Rachunek prawdopodobieństwa i statystyka

Średnia arytmetyczna zestawu danych: $2,\ 4,\ 7,\ 8,\ x$ jest równa $n$, natomiast średnia arytmetyczna zestawu danych: $2,\ 4,\ 7,\ 8,\ x,\ 2x$ jest równa $2n$. Wynika stąd, że

$x=49$

$x=21$

$x=14$

$x=7$

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Zapisanie średnich

Średnia arytmetyczna to suma danych podzielona przez ich liczbę. Ponieważ $2+4+7+8=21$, zapisujemy obie średnie.

\[n=\frac{21+x}{5},\qquad 2n=\frac{21+3x}{6}\]

2 Wyznaczenie x

Podstawiamy pierwszą równość do drugiej i mnożymy przez 30, aby usunąć mianowniki.

\[\frac{21+3x}{6}=2\cdot\frac{21+x}{5}\quad\Longrightarrow\quad 5(21+3x)=12(21+x)\quad\Longrightarrow\quad 105+15x=252+12x\quad\Longrightarrow\quad x=49\]

Odpowiedź

A. x = 49.

\[x=49\]

Sprawdzenie

Dla x = 49 pierwsza średnia wynosi 14, a druga 28, czyli jest dwa razy większa.

\[\frac{21+49}{5}=14,\qquad \frac{21+3\cdot49}{6}=28=2\cdot14\]

Zadanie 24

Matura 2015 · czerwiec · F-2015 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Kombinatoryka

Ile jest wszystkich liczb naturalnych dwucyfrowych podzielnych przez 6 i niepodzielnych przez 9?

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Policz wielokrotności 6

Dwucyfrowe wielokrotności 6 tworzą ciąg od 12 do 96, o różnicy 6. Liczymy jego wyrazy.

\[\frac{96-12}{6}+1=15\]

2 Odejmij wielokrotności 9

Liczba podzielna jednocześnie przez 6 i 9 jest podzielna przez ich najmniejszą wspólną wielokrotność, czyli 18. Dwucyfrowych wielokrotności 18 jest pięć.

\[\operatorname{NWW}(6,9)=18,\qquad \frac{90-18}{18}+1=5,\qquad 15-5=10\]

Odpowiedź

Takich liczb jest 10. Odpowiedź B.

\[10\]

Sprawdzenie

Są to liczby 12, 24, 30, 42, 48, 60, 66, 78, 84 i 96. Każda jest dwucyfrowa i podzielna przez 6; żadna nie jest podzielna przez 9. Lista zawiera 10 liczb.

\[10\]

Zadanie 25

Matura 2015 · czerwiec · F-2015 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Rachunek prawdopodobieństwa i statystyka

Na loterię przygotowano pulę 100 losów, w tym 4 wygrywające. Po wylosowaniu pewnej liczby losów, wśród których był dokładnie jeden wygrywający, szansa na wygraną była taka sama jak przed rozpoczęciem loterii. Stąd wynika, że wylosowano

4 losy.

20 losów.

50 losów.

25 losów.

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Prawdopodobieństwo początkowe

Przed losowaniem 4 ze 100 losów dawały wygraną.

\[P_0=\frac{4}{100}\]

2 Prawdopodobieństwo po losowaniu

Jeśli wylosowano n losów, pozostało 100−n losów, w tym 3 wygrywające. Przyrównujemy oba prawdopodobieństwa.

\[\frac{3}{100-n}=\frac{4}{100}\]

3 Obliczenie liczby losów

Mnożymy równanie na krzyż i wyznaczamy n.

\[300=4(100-n),\quad 4n=100,\quad n=25\]

Odpowiedź

Wylosowano 25 losów. Odpowiedź D.

\[n=25\]

Sprawdzenie

Pozostało 75 losów, w tym 3 wygrywające. Szansa wynosi 3/75 = 4/100, czyli tyle samo co na początku. Wylosowanie jednego losu wygrywającego wśród 25 jest możliwe.

\[\frac{3}{75}=\frac{4}{100}\]

Zadanie 26

Matura 2015 · czerwiec · F-2015 · poziom podstawowy

Otwarte2 pkt

Rozwiąż nierówność $3x^2-9x\leq x-3$.

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Przenieś wyrazy na jedną stronę

Aby wyznaczyć miejsca zerowe i zbadać znak wyrażenia, zapisujemy nierówność z zerem po prawej stronie.

\[3x^2-9x\leq x-3\iff 3x^2-10x+3\leq 0\]

2 Rozłóż trójmian na czynniki

Postać iloczynowa pozwala odczytać miejsca zerowe.

\[3x^2-10x+3=(3x-1)(x-3),\qquad x=\frac13\ \text{lub}\ x=3\]

3 Wyznacz przedział rozwiązań

Iloczyn jest niedodatni między miejscami zerowymi; równość zachodzi także na końcach przedziału.

\[(3x-1)(x-3)\leq 0\iff \frac13\leq x\leq 3\]

Odpowiedź

Zbiorem rozwiązań jest przedział domknięty od jednej trzeciej do trzech.

\[x\in\left[\frac13,3\right]\]

Sprawdzenie

Dla x = 1 iloczyn ma wartość −4, więc nierówność zachodzi. Dla x = 0 ma wartość 3, więc nierówność nie zachodzi poza wskazanym przedziałem. Na obu końcach iloczyn jest równy zeru.

\[(3\cdot1-1)(1-3)=-4\leq0,\qquad(3\cdot0-1)(0-3)=3>0\]

Zadanie 27

Matura 2015 · czerwiec · F-2015 · poziom podstawowy

Otwarte2 pkt

Geometria analityczna na płaszczyźnie kartezjańskiej

Rozwiąż równanie $x(x^2-2x+3)=0$.

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Zapisz drugi czynnik jako sumę kwadratu i liczby dodatniej

Kwadrat jest nieujemny, więc drugi czynnik jest dodatni dla każdej liczby rzeczywistej.

\[x^2-2x+3=(x-1)^2+2>0\]

2 Wyznacz rozwiązanie

Iloczyn może być równy zeru tylko wtedy, gdy pierwszy czynnik jest zerem.

\[x\big((x-1)^2+2\big)=0\iff x=0\]

Odpowiedź

Jedynym rozwiązaniem rzeczywistym jest $x=0$.

\[x=0\]

Sprawdzenie

Dla $x=0$ lewa strona wynosi $0$. Drugi czynnik jest zawsze dodatni, więc innych rozwiązań rzeczywistych nie ma.

\[0\cdot(0^2-2\cdot0+3)=0\]

Zadanie 28

Matura 2015 · czerwiec · F-2015 · poziom podstawowy

Otwarte2 pkt

Planimetria

Czworokąt $ABCD$ wpisano w okrąg tak, że bok $AB$ jest średnicą tego okręgu (zobacz rysunek). Udowodnij, że $|AD|^2+|BD|^2=|BC|^2+|AC|^2$.

Czworokąt ABCD wpisany w okrąg; AB jest średnicą, O oznacza środek okręgu, a przekątne AC i BD narysowano liniami przerywanymi.

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Trójkąt ABD

Kąt ADB jest prosty, ponieważ opiera się na średnicy AB. Z twierdzenia Pitagorasa otrzymujemy:

\[|AD|^2+|BD|^2=|AB|^2\]

2 Trójkąt ABC

Kąt ACB również opiera się na średnicy AB, więc jest prosty. Stosujemy twierdzenie Pitagorasa:

\[|BC|^2+|AC|^2=|AB|^2\]

Odpowiedź

Obie sumy są równe kwadratowi długości tej samej średnicy, zatem zachodzi żądana równość.

\[|AD|^2+|BD|^2=|BC|^2+|AC|^2\]

Sprawdzenie

W obu trójkątach bok AB leży naprzeciw kąta prostego, więc jest przeciwprostokątną. Twierdzenie Pitagorasa zostało zastosowane do właściwych boków.

\[|AD|^2+|BD|^2=|AB|^2=|BC|^2+|AC|^2\]

Zadanie 29

Matura 2015 · czerwiec · F-2015 · poziom podstawowy

Otwarte2 pkt

Wyrażenia algebraiczne

Udowodnij, że dla dowolnych liczb rzeczywistych $x$, $y$ prawdziwa jest nierówność $3x^2+5y^2-4xy\geq 0$.

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Przedstawienie jako sumy kwadratów

Uzupełniamy wyrażenie do kwadratu, aby móc skorzystać z nieujemności kwadratów liczb rzeczywistych.

\[3x^2+5y^2-4xy=(x-2y)^2+2x^2+y^2\]

2 Wykazanie nierówności

Każdy składnik otrzymanej sumy jest nieujemny dla liczb rzeczywistych, więc cała suma jest nieujemna.

\[(x-2y)^2+2x^2+y^2\geq 0\]

Odpowiedź

Nierówność jest prawdziwa dla wszystkich liczb rzeczywistych x i y. Równość zachodzi tylko dla x=y=0.

\[3x^2+5y^2-4xy\geq 0\]

Sprawdzenie

Po rozwinięciu kwadratu otrzymujemy wyjściowe wyrażenie. Suma jest równa zeru tylko wtedy, gdy x=0 i y=0; po podstawieniu rzeczywiście otrzymujemy 0.

\[(x-2y)^2+2x^2+y^2=x^2-4xy+4y^2+2x^2+y^2=3x^2+5y^2-4xy\]

Zadanie 30

Matura 2015 · czerwiec · F-2015 · poziom podstawowy

Otwarte2 pkt

Funkcje

Funkcja kwadratowa, $f$ dla $x=-3$ przyjmuje wartość największą równą $4$. Do wykresu funkcji $f$ należy punkt $A=(-1,3)$. Zapisz wzór funkcji kwadratowej $f$.

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Postać kanoniczna

Wartość największa 4 jest osiągana dla x=-3, więc wierzchołek paraboli ma współrzędne (-3,4).

\[f(x)=a(x+3)^2+4,\quad a<0\]

2 Wyznaczenie współczynnika

Podstawiamy współrzędne punktu A=(-1,3), który należy do wykresu.

\[3=a(-1+3)^2+4=4a+4,\quad a=-\frac14\]

Odpowiedź

Wzór funkcji to f(x)=-¼(x+3)²+4.

\[f(x)=-\frac14(x+3)^2+4\]

Sprawdzenie

Współczynnik przy kwadracie jest ujemny, więc funkcja osiąga maksimum 4 dla x=-3. Ponadto dla x=-1 przyjmuje wartość 3.

\[f(-3)=4,\qquad f(-1)=-\frac14\cdot 2^2+4=3\]

Zadanie 31

Matura 2015 · czerwiec · F-2015 · poziom podstawowy

Otwarte2 pkt

Rachunek prawdopodobieństwa i statystyka

Ze zbioru liczb naturalnych dwucyfrowych losowo wybieramy jedną liczbę. Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia $A$ polegającego na tym, że otrzymamy liczbę podzielną przez $8$ lub liczbę podzielną przez $12$.

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Liczba możliwych wyników

Każda liczba dwucyfrowa od 10 do 99 ma jednakową szansę wyboru.

\[99-10+1=90\]

2 Liczby spełniające warunek

Liczymy wielokrotności 8 i 12, odejmując liczby policzone dwa razy. Są to wielokrotności najmniejszej wspólnej wielokrotności 8 i 12, czyli 24.

\[\left(\left\lfloor\frac{99}{8}\right\rfloor-\left\lfloor\frac{9}{8}\right\rfloor\right)+\left(\left\lfloor\frac{99}{12}\right\rfloor-\left\lfloor\frac{9}{12}\right\rfloor\right)-\left(\left\lfloor\frac{99}{24}\right\rfloor-\left\lfloor\frac{9}{24}\right\rfloor\right)=11+8-4=15\]

3 Obliczenie prawdopodobieństwa

Dzielimy liczbę wyników sprzyjających przez liczbę wszystkich możliwych wyników.

\[P(A)=\frac{15}{90}=\frac{1}{6}\]

Odpowiedź

Prawdopodobieństwo zdarzenia A wynosi $\frac{1}{6}$.

\[P(A)=\frac{1}{6}\]

Sprawdzenie

Wspólne wielokrotności dwucyfrowe to 24, 48, 72 i 96 — dokładnie cztery. Po ich jednokrotnym odjęciu otrzymujemy 15 różnych liczb sprzyjających; $90\cdot\frac{1}{6}=15$.

\[11+8-4=15=90\cdot\frac{1}{6}\]

Zadanie 32

Matura 2015 · czerwiec · F-2015 · poziom podstawowy

Otwarte4 pkt

Ciągi

Dany jest nieskończony rosnący ciąg arytmetyczny $(a_n)$, dla $n\geq 1$ taki, że $a_5=18$. Wyrazy $a_1$, $a_3$ oraz $a_{13}$ tego ciągu są odpowiednio pierwszym, drugim i trzecim wyrazem pewnego ciągu geometrycznego. Wyznacz wzór na $n$-ty wyraz ciągu $(a_n)$.

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Zapisanie wyrazów przez różnicę

W ciągu arytmetycznym każdy kolejny wyraz jest większy o stałą różnicę $r>0$. Korzystając z $a_5=18$, zapisujemy wyrazy występujące w warunku zadania.

\[a_1=18-4r,\quad a_3=18-2r,\quad a_{13}=18+8r\]

2 Wykorzystanie warunku ciągu geometrycznego

Dla trzech kolejnych wyrazów ciągu geometrycznego kwadrat środkowego jest iloczynem skrajnych. Po podstawieniu otrzymujemy równanie dla $r$.

\[(18-2r)^2=(18-4r)(18+8r)\quad\Longrightarrow\quad 36r(r-4)=0\]

3 Wyznaczenie wzoru ciągu

Ciąg jest rosnący, więc $r>0$; stąd $r=4$. Obliczamy pierwszy wyraz i stosujemy wzór ciągu arytmetycznego.

\[a_1=18-4\cdot4=2,\qquad a_n=a_1+(n-1)r=2+4(n-1)=4n-2\]

Odpowiedź

Wzór na n-ty wyraz ciągu to $a_n=4n-2$ dla $n\geq1$.

\[a_n=4n-2\quad(n\geq1)\]

Sprawdzenie

Ze wzoru otrzymujemy $a_5=18$, a wyrazy $a_1=2$, $a_3=10$, $a_{13}=50$ tworzą ciąg geometryczny o ilorazie 5. Różnica ciągu arytmetycznego wynosi 4, więc ciąg jest rosnący.

\[a_5=4\cdot5-2=18,\qquad \frac{a_3}{a_1}=\frac{10}{2}=5=\frac{50}{10}=\frac{a_{13}}{a_3},\qquad a_{n+1}-a_n=4>0\]

Zadanie 33

Matura 2015 · czerwiec · F-2015 · poziom podstawowy

Otwarte4 pkt

Dany jest trójkąt równoramienny $ABC$, w którym $|AC|=|BC|$. Ponadto wiadomo, że $A=(-2,4)$ i $B=(6,-2)$. Wierzchołek $C$ należy do osi $Oy$. Oblicz współrzędne wierzchołka $C$.

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Zapisanie współrzędnych C

Ponieważ C leży na osi Oy, jego pierwsza współrzędna jest równa zero.

\[C=(0,y)\]

2 Porównanie długości ramion

Korzystamy ze wzoru na odległość punktów i warunku równości ramion. Porównanie kwadratów długości pozwala uniknąć pierwiastków.

\[|AC|^2=|BC|^2\quad\Longleftrightarrow\quad (0+2)^2+(y-4)^2=(0-6)^2+(y+2)^2\]

3 Obliczenie współrzędnej y

Rozwijamy kwadraty i rozwiązujemy otrzymane równanie liniowe.

\[4+y^2-8y+16=36+y^2+4y+4\quad\Longleftrightarrow\quad -12y=20\quad\Longleftrightarrow\quad y=-\frac{5}{3}\]

Odpowiedź

Wierzchołek C ma współrzędne $\left(0,-\frac{5}{3}\right)$.

\[C=\left(0,-\frac{5}{3}\right)\]

Sprawdzenie

Pierwsza współrzędna C wynosi zero, więc punkt leży na osi Oy. Kwadraty długości AC i BC są równe.

\[|AC|^2=4+\left(-\frac{5}{3}-4\right)^2=\frac{325}{9},\qquad |BC|^2=36+\left(-\frac{5}{3}+2\right)^2=\frac{325}{9}\]

Zadanie 34

Matura 2015 · czerwiec · F-2015 · poziom podstawowy

Otwarte5 pkt