Zamknięte1 pkt
W ostrosłupie czworokątnym, w którym wszystkie krawędzie mają tę samą długość, kąt nachylenia krawędzi bocznej do płaszczyzny podstawy ma miarę
A
\(30^\circ\)
B
\(45^\circ\)
C
\(60^\circ\)
D
\(75^\circ\)
Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie
1 Ustalenie kształtu podstawy
Równe krawędzie podstawy tworzą romb. Równe krawędzie boczne oznaczają, że wierzchołki podstawy leżą na jednym okręgu, więc romb jest kwadratem.
\[AB=BC=CD=DA=SA=SB=SC=SD=a\]
2 Obliczenie kąta nachylenia
Rzutem wierzchołka ostrosłupa na podstawę jest środek kwadratu O. Odcinek AO jest rzutem krawędzi SA, więc szukanym kątem jest kąt SAO. Połowa przekątnej kwadratu ma długość \(\frac{a\sqrt{2}}{2}\).
\[AO=\frac{a\sqrt{2}}{2},\qquad \cos\angle SAO=\frac{AO}{SA}=\frac{\sqrt{2}}{2},\qquad \angle SAO=45^\circ\]
Odpowiedź
Kąt ma miarę 45°, odpowiedź B.
\[45^\circ\quad\text{(B)}\]
Sprawdzenie
Z twierdzenia Pitagorasa wysokość SO wynosi \(\frac{a\sqrt{2}}{2}\). Jest równa AO, zatem trójkąt prostokątny SAO ma dwa równe kąty ostre, po 45°.
\[SO=\sqrt{SA^2-AO^2}=\frac{a\sqrt{2}}{2}=AO\]