Otwarte2 pkt
Czworokąt \(ABCD\) wpisano w okrąg tak, że bok \(AB\) jest średnicą tego okręgu (zobacz rysunek). Udowodnij, że \(|AD|^2+|BD|^2=|BC|^2+|AC|^2\).
Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie
1 Trójkąt ABD
Kąt ADB jest prosty, ponieważ opiera się na średnicy AB. Z twierdzenia Pitagorasa otrzymujemy:
\[|AD|^2+|BD|^2=|AB|^2\]
2 Trójkąt ABC
Kąt ACB również opiera się na średnicy AB, więc jest prosty. Stosujemy twierdzenie Pitagorasa:
\[|BC|^2+|AC|^2=|AB|^2\]
Odpowiedź
Obie sumy są równe kwadratowi długości tej samej średnicy, zatem zachodzi żądana równość.
\[|AD|^2+|BD|^2=|BC|^2+|AC|^2\]
Sprawdzenie
W obu trójkątach bok AB leży naprzeciw kąta prostego, więc jest przeciwprostokątną. Twierdzenie Pitagorasa zostało zastosowane do właściwych boków.
\[|AD|^2+|BD|^2=|AB|^2=|BC|^2+|AC|^2\]