Otwarte2 pkt
Udowodnij, że dla dowolnych liczb rzeczywistych \(x\), \(y\) prawdziwa jest nierówność \(3x^2+5y^2-4xy\geq 0\).
Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie
1 Przedstawienie jako sumy kwadratów
Uzupełniamy wyrażenie do kwadratu, aby móc skorzystać z nieujemności kwadratów liczb rzeczywistych.
\[3x^2+5y^2-4xy=(x-2y)^2+2x^2+y^2\]
2 Wykazanie nierówności
Każdy składnik otrzymanej sumy jest nieujemny dla liczb rzeczywistych, więc cała suma jest nieujemna.
\[(x-2y)^2+2x^2+y^2\geq 0\]
Odpowiedź
Nierówność jest prawdziwa dla wszystkich liczb rzeczywistych x i y. Równość zachodzi tylko dla x=y=0.
\[3x^2+5y^2-4xy\geq 0\]
Sprawdzenie
Po rozwinięciu kwadratu otrzymujemy wyjściowe wyrażenie. Suma jest równa zeru tylko wtedy, gdy x=0 i y=0; po podstawieniu rzeczywiście otrzymujemy 0.
\[(x-2y)^2+2x^2+y^2=x^2-4xy+4y^2+2x^2+y^2=3x^2+5y^2-4xy\]