Otwarte4 pkt
Dany jest trójkąt równoramienny \(ABC\), w którym \(|AC|=|BC|\). Ponadto wiadomo, że \(A=(-2,4)\) i \(B=(6,-2)\). Wierzchołek \(C\) należy do osi \(Oy\). Oblicz współrzędne wierzchołka \(C\).
Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie
1 Zapisanie współrzędnych C
Ponieważ C leży na osi Oy, jego pierwsza współrzędna jest równa zero.
\[C=(0,y)\]
2 Porównanie długości ramion
Korzystamy ze wzoru na odległość punktów i warunku równości ramion. Porównanie kwadratów długości pozwala uniknąć pierwiastków.
\[|AC|^2=|BC|^2\quad\Longleftrightarrow\quad (0+2)^2+(y-4)^2=(0-6)^2+(y+2)^2\]
3 Obliczenie współrzędnej y
Rozwijamy kwadraty i rozwiązujemy otrzymane równanie liniowe.
\[4+y^2-8y+16=36+y^2+4y+4\quad\Longleftrightarrow\quad -12y=20\quad\Longleftrightarrow\quad y=-\frac{5}{3}\]
Odpowiedź
Wierzchołek C ma współrzędne \(\left(0,-\frac{5}{3}\right)\).
\[C=\left(0,-\frac{5}{3}\right)\]
Sprawdzenie
Pierwsza współrzędna C wynosi zero, więc punkt leży na osi Oy. Kwadraty długości AC i BC są równe.
\[|AC|^2=4+\left(-\frac{5}{3}-4\right)^2=\frac{325}{9},\qquad |BC|^2=36+\left(-\frac{5}{3}+2\right)^2=\frac{325}{9}\]