Zadanie 34 — matura 2015, czerwiec | Matematyka podstawowa, F-2015

Matura 2015 · czerwiec · F-2015 · poziom podstawowy

Otwarte5 pkt

Objętość ostrosłupa prawidłowego trójkątnego \(ABCS\) jest równa \(27\sqrt{3}\). Długość krawędzi \(AB\) podstawy ostrosłupa jest równa \(6\) (zobacz rysunek). Oblicz pole powierzchni całkowitej tego ostrosłupa.

Ostrosłup trójkątny ABCS z zaznaczonym środkiem podstawy O i wysokością SO.

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Pole podstawy

Podstawą ostrosłupa prawidłowego trójkątnego jest trójkąt równoboczny o boku 6.

\[P_p=\frac{6^2\sqrt{3}}{4}=9\sqrt{3}\]

2 Wysokość ostrosłupa

Z wzoru na objętość wyznaczamy wysokość SO.

\[27\sqrt{3}=\frac{1}{3}\cdot9\sqrt{3}\cdot SO\quad\Rightarrow\quad SO=9\]

3 Wysokość ściany bocznej

Odległość środka podstawy O od boku AB wynosi jedną trzecią wysokości trójkąta równobocznego. Wysokość ściany bocznej obliczamy z twierdzenia Pitagorasa.

\[r=\frac{1}{3}\cdot\frac{6\sqrt{3}}{2}=\sqrt{3},\qquad h_b=\sqrt{SO^2+r^2}=\sqrt{81+3}=2\sqrt{21}\]

4 Pole całkowite

Trzy jednakowe ściany boczne są trójkątami o podstawie 6 i wysokości \(h_b\). Dodajemy ich pola do pola podstawy.

\[P_c=P_p+3\cdot\frac{6h_b}{2}=9\sqrt{3}+3\cdot6\sqrt{21}=9\sqrt{3}+18\sqrt{21}\]

Odpowiedź

Pole powierzchni całkowitej wynosi \(9\sqrt{3}+18\sqrt{21}\) jednostek kwadratowych.

\[P_c=9\sqrt{3}+18\sqrt{21}\]

Sprawdzenie

Pole podstawy i obliczona wysokość dają objętość \(27\sqrt{3}\), zgodną z treścią zadania.

\[V=\frac{1}{3}\cdot9\sqrt{3}\cdot9=27\sqrt{3}\]