Dany jest nieskończony rosnący ciąg arytmetyczny \((a_n)\), dla \(n\geq 1\) taki, że \(a_5=18\). Wyrazy \(a_1\), \(a_3\) oraz \(a_{13}\) tego ciągu są odpowiednio pierwszym, drugim i trzecim wyrazem pewnego ciągu geometrycznego. Wyznacz wzór na \(n\)-ty wyraz ciągu \((a_n)\).
Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie
1 Zapisanie wyrazów przez różnicę
W ciągu arytmetycznym każdy kolejny wyraz jest większy o stałą różnicę \(r>0\). Korzystając z \(a_5=18\), zapisujemy wyrazy występujące w warunku zadania.
2 Wykorzystanie warunku ciągu geometrycznego
Dla trzech kolejnych wyrazów ciągu geometrycznego kwadrat środkowego jest iloczynem skrajnych. Po podstawieniu otrzymujemy równanie dla \(r\).
3 Wyznaczenie wzoru ciągu
Ciąg jest rosnący, więc \(r>0\); stąd \(r=4\). Obliczamy pierwszy wyraz i stosujemy wzór ciągu arytmetycznego.
Odpowiedź
Wzór na n-ty wyraz ciągu to \(a_n=4n-2\) dla \(n\geq1\).
Sprawdzenie
Ze wzoru otrzymujemy \(a_5=18\), a wyrazy \(a_1=2\), \(a_3=10\), \(a_{13}=50\) tworzą ciąg geometryczny o ilorazie 5. Różnica ciągu arytmetycznego wynosi 4, więc ciąg jest rosnący.