Otwarte2 pkt
Ze zbioru liczb naturalnych dwucyfrowych losowo wybieramy jedną liczbę. Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia \(A\) polegającego na tym, że otrzymamy liczbę podzielną przez \(8\) lub liczbę podzielną przez \(12\).
Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie
1 Liczba możliwych wyników
Każda liczba dwucyfrowa od 10 do 99 ma jednakową szansę wyboru.
\[99-10+1=90\]
2 Liczby spełniające warunek
Liczymy wielokrotności 8 i 12, odejmując liczby policzone dwa razy. Są to wielokrotności najmniejszej wspólnej wielokrotności 8 i 12, czyli 24.
\[\left(\left\lfloor\frac{99}{8}\right\rfloor-\left\lfloor\frac{9}{8}\right\rfloor\right)+\left(\left\lfloor\frac{99}{12}\right\rfloor-\left\lfloor\frac{9}{12}\right\rfloor\right)-\left(\left\lfloor\frac{99}{24}\right\rfloor-\left\lfloor\frac{9}{24}\right\rfloor\right)=11+8-4=15\]
3 Obliczenie prawdopodobieństwa
Dzielimy liczbę wyników sprzyjających przez liczbę wszystkich możliwych wyników.
\[P(A)=\frac{15}{90}=\frac{1}{6}\]
Odpowiedź
Prawdopodobieństwo zdarzenia A wynosi \(\frac{1}{6}\).
\[P(A)=\frac{1}{6}\]
Sprawdzenie
Wspólne wielokrotności dwucyfrowe to 24, 48, 72 i 96 — dokładnie cztery. Po ich jednokrotnym odjęciu otrzymujemy 15 różnych liczb sprzyjających; \(90\cdot\frac{1}{6}=15\).
\[11+8-4=15=90\cdot\frac{1}{6}\]