Zamknięte1 pkt
W trójkącie \(ABC\), w którym \(|AC|=|BC|\), na boku \(AB\) wybrano punkt \(D\) taki, że \(|BD|=|CD|\) oraz \(|\angle ACD|=21^\circ\) (zobacz rysunek).
Wynika stąd, że kąt \(BCD\) ma miarę
A
\(57^\circ\)
B
\(53^\circ\)
C
\(51^\circ\)
D
\(55^\circ\)
Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie
1 Oznaczenie kąta
Równość boków BD i CD oznacza, że kąty przy podstawie BC trójkąta BCD są równe.
\[x=\angle BCD=\angle DBC\]
2 Kąty przy podstawie ABC
Ponieważ D leży na AB, kąt DBC jest kątem ABC. Z równości AC i BC wynika równość kątów przy podstawie AB.
\[\angle ABC=\angle BAC=x\]
3 Suma kątów
Kąty ADC i CDB są przyległe. Obliczamy je z sumy kątów trójkąta ACD, a następnie stosujemy sumę kątów trójkąta BCD.
\[\angle ADC=180^\circ-x-21^\circ=159^\circ-x,\quad \angle CDB=21^\circ+x;\quad x+x+(21^\circ+x)=180^\circ,\quad x=53^\circ\]
Odpowiedź
Kąt BCD ma miarę 53°, odpowiedź B.
\[\angle BCD=53^\circ\]
Sprawdzenie
W trójkącie BCD kąty mają miary 53°, 53° i 74°, więc ich suma wynosi 180°. W trójkącie ABC kąty przy podstawie mają po 53°, a kąt przy C wynosi 21° + 53° = 74°; ich suma także wynosi 180°.
\[53^\circ+53^\circ+74^\circ=180^\circ\]