Otwarte2 pkt
Rozwiąż nierówność \(3x^2-9x\leq x-3\).
Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie
1 Przenieś wyrazy na jedną stronę
Aby wyznaczyć miejsca zerowe i zbadać znak wyrażenia, zapisujemy nierówność z zerem po prawej stronie.
\[3x^2-9x\leq x-3\iff 3x^2-10x+3\leq 0\]
2 Rozłóż trójmian na czynniki
Postać iloczynowa pozwala odczytać miejsca zerowe.
\[3x^2-10x+3=(3x-1)(x-3),\qquad x=\frac13\ \text{lub}\ x=3\]
3 Wyznacz przedział rozwiązań
Iloczyn jest niedodatni między miejscami zerowymi; równość zachodzi także na końcach przedziału.
\[(3x-1)(x-3)\leq 0\iff \frac13\leq x\leq 3\]
Odpowiedź
Zbiorem rozwiązań jest przedział domknięty od jednej trzeciej do trzech.
\[x\in\left[\frac13,3\right]\]
Sprawdzenie
Dla x = 1 iloczyn ma wartość −4, więc nierówność zachodzi. Dla x = 0 ma wartość 3, więc nierówność nie zachodzi poza wskazanym przedziałem. Na obu końcach iloczyn jest równy zeru.
\[(3\cdot1-1)(1-3)=-4\leq0,\qquad(3\cdot0-1)(0-3)=3>0\]