Zamknięte1 pkt
Ciąg geometryczny \((a_n)\) jest określony wzorem \(a_n=2^n\) dla \(n\geq 1\). Suma dziesięciu początkowych kolejnych wyrazów tego ciągu jest równa
A
\(2(1-2^{10})\)
B
\(-2(1-2^{10})\)
C
\(2(1+2^{10})\)
D
\(-2(1+2^{10})\)
Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie
1 Wyznaczenie pierwszego wyrazu i ilorazu
Korzystamy ze wzoru ciągu, aby zastosować wzór na sumę dziesięciu początkowych wyrazów ciągu geometrycznego.
\[a_1=2^1=2,\qquad q=\frac{a_2}{a_1}=\frac{4}{2}=2\]
2 Obliczenie sumy
Ponieważ iloraz jest różny od 1, stosujemy wzór na sumę początkowych wyrazów ciągu geometrycznego i upraszczamy wynik.
\[S_{10}=a_1\frac{1-q^{10}}{1-q}=2\frac{1-2^{10}}{1-2}=-2(1-2^{10})=2046\]
Odpowiedź
B. Suma wynosi 2046.
\[S_{10}=-2(1-2^{10})=2046\]
Sprawdzenie
Po rozwinięciu odpowiedzi B otrzymujemy 2¹¹−2=2046, czyli sumę potęg od 2¹ do 2¹⁰.
\[-2(1-2^{10})=2^{11}-2=2046\]