Arkusz maturalny

Matematyka — matura 2026

Poziom podstawowyMajFormuła 2015

Zobacz zadania i rozwiązania 34 zadań z arkusza

ArkuszPobierz PDF KluczPobierz PDF

Zadania z arkusza — rozwiązania krok po kroku

34 zadań · Rozwiń rozwiązanie pod wybranym zadaniem.

Zadanie 1

Matura 2026 · maj · F-2015 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Liczby rzeczywiste

Liczba \(\sqrt{\frac{25}{8}}\cdot\sqrt{2}+2^{-1}\) jest równa

\(1\)

\(2\)

\(3\)

\(4\)

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Połącz pierwiastki

Obie liczby pod pierwiastkami są nieujemne, więc można pomnożyć je pod jednym pierwiastkiem.

\[\sqrt{\frac{25}{8}}\cdot\sqrt{2}=\sqrt{\frac{25}{8}\cdot2}=\sqrt{\frac{25}{4}}=\frac{5}{2}\]

2 Oblicz potęgę i dodaj

Wykładnik −1 oznacza odwrotność liczby.

\[\frac{5}{2}+2^{-1}=\frac{5}{2}+\frac{1}{2}=3\]

Odpowiedź

Wynik to 3, czyli odpowiedź C.

\[3\]

Sprawdzenie

Kwadrat otrzymanej wartości pierwiastka wynosi 25/4, a po dodaniu 1/2 otrzymujemy 3.

\[\left(\frac{5}{2}\right)^2=\frac{25}{4}=\frac{25}{8}\cdot2,\qquad \frac{5}{2}+\frac{1}{2}=3\]

Zadanie 2

Matura 2026 · maj · F-2015 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Liczby rzeczywiste

Klient wpłacił do banku \(10\,000\) zł na lokatę dwuletnią. Po każdym rocznym okresie oszczędzania bank dolicza odsetki w wysokości \(6\%\) od kwoty bieżącego kapitału znajdującego się na lokacie – zgodnie z procentem składanym.

Po dwóch latach oszczędzania łączna wartość doliczonych odsetek na tej lokacie (bez uwzględniania podatków) jest równa

\(1200\) zł

\(1236\) zł

\(1836\) zł

\(3600\) zł

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Kapitał po pierwszym roku

Bank dolicza 6% od początkowej kwoty, więc mnożymy ją przez 1,06.

\[K_1=10\,000\cdot 1{,}06=10\,600\ \text{zł}\]

2 Kapitał po drugim roku

W drugim roku odsetki są naliczane od powiększonego kapitału.

\[K_2=10\,600\cdot 1{,}06=11\,236\ \text{zł}\]

3 Łączne odsetki

Od końcowej wartości lokaty odejmujemy wpłaconą kwotę.

\[11\,236-10\,000=1236\ \text{zł}\]

Odpowiedź

Łączne odsetki wynoszą 1236 zł. Odpowiedź B.

\[1236\ \text{zł}\]

Sprawdzenie

W pierwszym roku odsetki wynoszą 600 zł, a w drugim 636 zł. Ich suma to 1236 zł.

\[0{,}06\cdot 10\,000+0{,}06\cdot 10\,600=600+636=1236\ \text{zł}\]

Zadanie 3

Matura 2026 · maj · F-2015 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Liczby rzeczywiste

Liczba \(\sqrt{5\sqrt{5}}\) jest równa

\(5^{\frac{1}{4}}\)

\(5^{\frac{1}{2}}\)

\(5^{\frac{3}{4}}\)

\(5\)

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Zapisanie pierwiastka jako potęgi

Ponieważ pierwiastek kwadratowy oznacza potęgę o wykładniku \(\frac{1}{2}\), zapisujemy oba pierwiastki jako potęgi.

\[\sqrt{5\sqrt{5}}=\left(5\cdot 5^{\frac{1}{2}}\right)^{\frac{1}{2}}\]

2 Obliczenie wykładnika

Mnożąc potęgi o tej samej podstawie, dodajemy wykładniki, a przy potęgowaniu potęgi mnożymy wykładniki.

\[\left(5^{1+\frac{1}{2}}\right)^{\frac{1}{2}}=5^{\frac{3}{2}\cdot\frac{1}{2}}=5^{\frac{3}{4}}\]

Odpowiedź

Odpowiedź C.

\[5^{\frac{3}{4}}\]

Sprawdzenie

Kwadrat otrzymanej liczby wynosi \(5\sqrt{5}\), więc jej dodatni pierwiastek to obliczona wartość.

\[\left(5^{\frac{3}{4}}\right)^2=5^{\frac{3}{2}}=5\sqrt{5}\]

Zadanie 4

Matura 2026 · maj · F-2015 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Liczby rzeczywiste

Liczba \(\log_{8}4-\log_{8}32\) jest równa

\((-2)\)

\((-1)\)

\(1\)

\(2\)

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Połącz logarytmy

Logarytmy mają tę samą podstawę, więc ich różnica jest logarytmem ilorazu argumentów.

\[\log_{8}4-\log_{8}32=\log_{8}\frac{4}{32}=\log_{8}\frac{1}{8}\]

2 Oblicz wartość

Ponieważ \(8^{-1}=\frac{1}{8}\), szukany logarytm wynosi \(-1\).

\[\log_{8}\frac{1}{8}=-1\]

Odpowiedź

B, czyli −1.

\[-1\]

Sprawdzenie

Osobno otrzymujemy \(\log_{8}4=\frac{2}{3}\) i \(\log_{8}32=\frac{5}{3}\); ich różnica to \(-1\).

\[\frac{2}{3}-\frac{5}{3}=-1\]

Zadanie 5

Matura 2026 · maj · F-2015 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Wyrażenia algebraiczne

Wartość wyrażenia \(x^2+10x+25\) dla \(x=\sqrt{2}-5\) jest równa

\(2\)

\(\sqrt{2}\)

\(2-20\sqrt{2}\)

\(62-10\sqrt{2}\)

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Zastosowanie wzoru skróconego mnożenia

Wyrażenie jest kwadratem sumy, co upraszcza podstawienie.

\[x^2+10x+25=(x+5)^2\]

2 Podstawienie wartości x

Dla podanej wartości x suma x+5 jest równa pierwiastkowi z 2.

\[(x+5)^2=(\sqrt{2}-5+5)^2=(\sqrt{2})^2=2\]

Odpowiedź

Wynik to 2, odpowiedź A.

\[2\]

Sprawdzenie

Po bezpośrednim podstawieniu i zredukowaniu wyrazów z pierwiastkiem również otrzymujemy 2.

\[(\sqrt{2}-5)^2+10(\sqrt{2}-5)+25=27-10\sqrt{2}+10\sqrt{2}-50+25=2\]

Zadanie 6

Matura 2026 · maj · F-2015 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Równania i nierówności

Dane jest równanie

\(3(x+3)(x-m)(2x+4)=0\)

gdzie \(x\) jest niewiadomą, natomiast \(m\) jest pewną liczbą rzeczywistą. Suma wszystkich rozwiązań tego równania jest równa \(0\).

Liczba \(m\) jest równa

\((-7)\)

\(2\)

\(5\)

\(7\)

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Wyznaczenie rozwiązań

Iloczyn jest równy zeru, gdy co najmniej jeden jego czynnik jest równy zeru. Stały czynnik 3 nie wpływa na rozwiązania.

\[x+3=0\ \lor\ x-m=0\ \lor\ 2x+4=0\quad\Longrightarrow\quad x=-3\ \lor\ x=m\ \lor\ x=-2\]

2 Sprawdzenie powtarzających się rozwiązań

Gdy m jest równe −3 lub −2, równanie ma tylko dwa różne rozwiązania. Ich suma nie jest równa zeru, więc wykluczamy te wartości.

\[m\in\{-3,-2\}\quad\Longrightarrow\quad S=-3+(-2)=-5\ne 0\]

3 Obliczenie parametru

Dla pozostałych wartości m trzy rozwiązania są różne, więc ich suma wynosi m−5. Przyrównujemy ją do zera.

\[m\notin\{-3,-2\},\qquad -3+m-2=0\quad\Longrightarrow\quad m=5\]

Odpowiedź

Liczba m jest równa 5. Odpowiedź C.

\[m=5\]

Sprawdzenie

Wartość 5 nie jest równa −3 ani −2. Równanie ma wtedy trzy różne rozwiązania: −3, 5 i −2, których suma wynosi 0.

\[-3+5+(-2)=0\]

Zadanie 7

Matura 2026 · maj · F-2015 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Równania i nierówności

Rozwiązaniem równania

\(\frac{x+2}{3x-1}=\frac{2}{5}\)

jest liczba

\(\frac{1}{3}\)

\(\frac{8}{11}\)

\(3\)

\(12\)

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Warunek

Mianownik ułamka musi być różny od zera.

\[3x-1\ne 0\quad\Longrightarrow\quad x\ne\frac{1}{3}\]

2 Rozwiązanie równania

Mnożymy obie strony przez \(5(3x-1)\), a następnie porządkujemy równanie.

\[5(x+2)=2(3x-1)\quad\Longrightarrow\quad 5x+10=6x-2\quad\Longrightarrow\quad x=12\]

Odpowiedź

Rozwiązaniem jest liczba 12, czyli odpowiedź D.

\[x=12\]

Sprawdzenie

Liczba 12 spełnia warunek. Po podstawieniu lewa strona równania jest równa prawej.

\[12\ne\frac{1}{3},\qquad \frac{12+2}{3\cdot12-1}=\frac{14}{35}=\frac{2}{5}\]

Zadanie 8

Matura 2026 · maj · F-2015 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Funkcje

Na rysunku, w układzie współrzędnych \((x,y)\), przedstawiono wykres funkcji \(f\).

Wskaż zdanie prawdziwe.

Wykres funkcji f: odcinek od punktu pełnego (−4, −2) do punktu pełnego (2, 4) oraz odcinek od punktu pustego (2, 3) do punktu pustego (5, 0).

Rozwiązaniem równania \(f(x)=3\) jest liczba \(1\).

Największa wartość funkcji \(f\) w przedziale \(\langle 2,3\rangle\) jest równa \(3\).

Funkcja \(f\) jest malejąca w przedziale \(\langle 0,3\rangle\).

Funkcja \(f\) ma dwa miejsca zerowe.

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Odczyt wartości

Na pierwszym odcinku wykres przechodzi przez punkt (1,3), więc liczba 1 spełnia równanie z odpowiedzi A.

\[f(1)=3\]

2 Ocena pozostałych zdań

Punkt (2,4) należy do wykresu, więc największa wartość w przedziale od 2 do 3 nie wynosi 3. Na odcinku od 0 do 2 funkcja rośnie. Wykres przecina oś x w punkcie (−2,0), natomiast punkt (5,0) jest pusty i nie należy do wykresu.

\[f(2)=4,\qquad f(-2)=0,\qquad f(5)\text{ nie jest określone}\]

Odpowiedź

Prawdziwe jest zdanie A: rozwiązaniem równania f(x)=3 jest liczba 1.

\[\boxed{\mathrm{A}:\ f(1)=3}\]

Sprawdzenie

Dla x=1 wykres ma wysokość 3, co potwierdza zdanie A. Żadne z pozostałych zdań nie jest prawdziwe.

\[(1,3)\in W_f\]

Zadanie 9

Matura 2026 · maj · F-2015 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Funkcje

Na rysunku, w układzie współrzędnych \((x,y)\), przedstawiono wykres funkcji \(f\).

Zbiorem wartości funkcji \(f\) jest przedział

Wykres funkcji f w układzie współrzędnych.

\(\langle -4,5)\)

\((-4,5\rangle\)

\(\langle -2,4\rangle\)

\((-2,4)\)

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Odczytanie wartości skrajnych

Najniższy punkt wykresu ma wysokość −2, a najwyższy 4. Oba punkty są zamalowane, więc funkcja przyjmuje te wartości.

\[f(-4)=-2,\qquad f(2)=4\]

2 Wyznaczenie zbioru wartości

Odcinek łączący te punkty przyjmuje każdą wartość pośrednią, więc zbiorem wartości jest przedział domknięty.

\[W_f=\langle -2,4\rangle\]

Odpowiedź

Odpowiedź C.

\[\langle -2,4\rangle\]

Sprawdzenie

Wartości −2 i 4 należą do zbioru wartości, ponieważ odpowiadają zamalowanym punktom wykresu. Żaden punkt wykresu nie leży poniżej −2 ani powyżej 4.

\[-2\leq f(x)\leq 4\]

Zadanie 10

Matura 2026 · maj · F-2015 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Funkcje

Na rysunku, w układzie współrzędnych \((x,y)\), przedstawiono wykres funkcji \(f\).

Zbiorem wszystkich argumentów, dla których funkcja \(f\) przyjmuje wartości ujemne, jest przedział

Wykres funkcji y = f(x) w układzie współrzędnych.

\(\langle -4,-2)\)

\((-4,-2)\)

\(\langle -4,0)\)

\(\langle -2,2)\)

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Odczyt miejsc istotnych

Wykres zaczyna się w zamalowanym punkcie o argumentcie −4 i przecina oś x przy x=−2. Wartości ujemne występują tam, gdzie wykres leży poniżej osi x.

\[f(-4)=-2<0,\qquad f(-2)=0\]

2 Wyznaczenie przedziału

Argument −4 należy do szukanego zbioru, a −2 nie należy, ponieważ funkcja przyjmuje tam wartość zero. Na pozostałej części wykresu wartości nie są ujemne.

\[f(x)<0\iff x\in\langle -4,-2)\]

Odpowiedź

Odpowiedź A: przedział ⟨−4,−2).

\[\langle -4,-2)\]

Sprawdzenie

Na odcinku od x=−4 do x=−2 wykres rośnie od wartości −2 do 0, więc przed osiągnięciem x=−2 pozostaje poniżej osi x. Dalej leży na osi x lub powyżej niej.

\[-4\le x<-2\implies -2\le f(x)<0\]

Zadanie 11

Matura 2026 · maj · F-2015 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Funkcje

Informacja do zadań 11.–12.

Funkcja liniowa \(f\) jest określona wzorem \(f(x)=ax+b\), gdzie \(a\) i \(b\) są pewnymi liczbami rzeczywistymi. W układzie współrzędnych \((x,y)\) przedstawiono fragment wykresu funkcji \(f\). Każdy z punktów przecięcia wykresu funkcji \(f\) z osiami układu współrzędnych ma obie współrzędne całkowite. Wykres funkcji \(f\) jest nachylony do osi \(Ox\) układu współrzędnych pod kątem o mierze \(\alpha\) (zobacz rysunek).

Liczba \(a\) oraz liczba \(b\) we wzorze funkcji \(f\) spełniają warunki:

Układ współrzędnych z osiami x i y, malejącą prostą y=f(x) oraz zaznaczonym kątem α.

\(a>0\) oraz \(b>0\).

\(a>0\) oraz \(b<0\).

\(a<0\) oraz \(b>0\).

\(a<0\) oraz \(b<0\).

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Odczytanie punktów

Z wykresu odczytujemy przecięcia prostej z osiami. Pozwolą one wyznaczyć współczynniki funkcji.

\[(-2,0),\quad (0,-3)\]

2 Wyznaczenie znaków współczynników

Współczynnik kierunkowy obliczamy z dwóch punktów, a wyraz wolny jest wartością funkcji dla x równego zeru.

\[a=\frac{-3-0}{0-(-2)}=-\frac{3}{2}<0,\qquad b=f(0)=-3<0\]

Odpowiedź

Oba współczynniki są ujemne. Odpowiedź D.

\[a<0\quad\text{oraz}\quad b<0\]

Sprawdzenie

Dla otrzymanych współczynników funkcja ma miejsce zerowe w x równym −2, zgodnie z wykresem.

\[f(-2)=-\frac{3}{2}\cdot(-2)-3=0\]

Zadanie 12

Matura 2026 · maj · F-2015 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Trygonometria

Informacja do zadań 11.–12. Funkcja liniowa \(f\) jest określona wzorem \(f(x)=ax+b\), gdzie \(a\) i \(b\) są pewnymi liczbami rzeczywistymi. W układzie współrzędnych \((x,y)\) przedstawiono fragment wykresu funkcji \(f\). Każdy z punktów przecięcia wykresu funkcji \(f\) z osiami układu współrzędnych ma obie współrzędne całkowite. Wykres funkcji \(f\) jest nachylony do osi \(Ox\) układu współrzędnych pod kątem o mierze \(\alpha\) (zobacz rysunek).

Tangens kąta o mierze \(\alpha\) jest równy

Wykres funkcji liniowej w układzie współrzędnych, z zaznaczonym kątem α między wykresem a dodatnią półosią Ox.

\(\left(-\frac{3}{2}\right)\)

\(\left(-\frac{2}{3}\right)\)

\(\frac{2}{3}\)

\(\frac{3}{2}\)

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Odczyt punktów

Z wykresu odczytujemy punkty przecięcia prostej z osiami: (−2, 0) oraz (0, −3).

\[(-2,0),\quad(0,-3)\]

2 Obliczenie tangensa

Tangens kąta nachylenia prostej do dodatniej półosi Ox jest równy jej współczynnikowi kierunkowemu. Obliczamy go z dwóch odczytanych punktów.

\[\operatorname{tg}\alpha=a=\frac{-3-0}{0-(-2)}=-\frac{3}{2}\]

Odpowiedź

Odpowiedź A.

\[\operatorname{tg}\alpha=-\frac{3}{2}\]

Sprawdzenie

Prosta opada w prawo, więc jej współczynnik kierunkowy i tangens zaznaczonego kąta rozwartego są ujemne. Dla przesunięcia o 2 jednostki w prawo wartość funkcji maleje o 3 jednostki, co potwierdza wynik.

\[\frac{\Delta y}{\Delta x}=\frac{-3}{2}\]

Zadanie 13

Matura 2026 · maj · F-2015 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Funkcje

W chwili \(t=0\) z poziomu ziemi wyrzucono piłeczkę pionowo do góry. Przyjmijmy, że wysokość \(h\), na której znajduje się piłeczka w danej chwili \(t\), jest określona wzorem

\[h(t)=-4{,}9t^2+14{,}7t\]

gdzie:

czas \(t\) jest wyrażony w sekundach (s) i zmienia się od \(0\) do chwili pierwszego uderzenia piłeczki o ziemię
wysokość \(h\) jest wyrażona w metrach i jest liczona względem poziomu ziemi.

Wyrzucona piłeczka po raz pierwszy uderzy w ziemię w chwili

\(t=1{,}5\ \mathrm{s}\)

\(t=2\ \mathrm{s}\)

\(t=2{,}5\ \mathrm{s}\)

\(t=3\ \mathrm{s}\)

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Wyznaczenie chwil na poziomie ziemi

Piłeczka znajduje się na poziomie ziemi, gdy jej wysokość wynosi zero. Wyłączamy wspólny czynnik i korzystamy z zasady iloczynu równego zeru.

\[-4{,}9t^2+14{,}7t=0\iff -4{,}9t(t-3)=0\iff t=0\ \text{lub}\ t=3\]

2 Wybór chwili uderzenia

Chwila \(t=0\) jest chwilą wyrzucenia piłeczki. Pierwsze uderzenie o ziemię następuje więc po 3 sekundach.

\[t=3\ \mathrm{s}\]

Odpowiedź

Odpowiedź D: piłeczka po raz pierwszy uderzy w ziemię po 3 sekundach.

\[t=3\ \mathrm{s}\]

Sprawdzenie

Dla \(t=3\) wysokość wynosi zero, a dla każdego \(0<t<3\) jest dodatnia, więc piłeczka nie uderza w ziemię wcześniej.

\[h(3)=-4{,}9\cdot 3\cdot(3-3)=0,\qquad h(t)=4{,}9t(3-t)>0\ \text{dla}\ 0<t<3\]

Zadanie 14

Matura 2026 · maj · F-2015 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Ciągi

Ciąg arytmetyczny \((a_n)\) jest określony dla każdej liczby naturalnej \(n\geqslant 1\). W tym ciągu \(a_1=1\) oraz \(a_5=17\).

Dziewiąty wyraz ciągu \((a_n)\) jest równy

\(29\)

\(33\)

\(34\)

\(37\)

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Wyznaczenie różnicy ciągu

W ciągu arytmetycznym każdy kolejny wyraz jest większy od poprzedniego o tę samą różnicę r. Od pierwszego do piątego wyrazu są cztery takie różnice.

\[a_5=a_1+4r,\quad 17=1+4r,\quad r=4\]

2 Obliczenie dziewiątego wyrazu

Od pierwszego do dziewiątego wyrazu dodajemy różnicę osiem razy.

\[a_9=a_1+8r=1+8\cdot4=33\]

Odpowiedź

Dziewiąty wyraz wynosi 33. Odpowiedź B.

\[a_9=33\]

Sprawdzenie

Od piątego do dziewiątego wyrazu są cztery różnice, więc otrzymujemy ten sam wynik.

\[a_9=a_5+4r=17+4\cdot4=33\]

Zadanie 15

Matura 2026 · maj · F-2015 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Ciągi

Ciąg geometryczny \((a_n)\) jest określony dla każdej liczby naturalnej \(n\geqslant 1\). Wyrazy trzeci i szósty tego ciągu spełniają warunek \(a_3\cdot a_6=18\).

Iloczyn \(a_2\cdot a_7\) jest równy

\(9\)

\(14\)

\(18\)

\(36\)

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Zapisz wyrazy ciągu

W ciągu geometrycznym każdy wyraz ma postać wynikającą z pierwszego wyrazu i ilorazu.

\[a_n=a_1q^{n-1}\]

2 Porównaj iloczyny

W obu iloczynach suma wykładników przy ilorazie jest równa 7, więc iloczyny są równe.

\[a_3a_6=(a_1q^2)(a_1q^5)=a_1^2q^7,\qquad a_2a_7=(a_1q)(a_1q^6)=a_1^2q^7\]

Odpowiedź

Iloczyn wynosi 18. Odpowiedź C.

\[a_2a_7=a_3a_6=18\]

Sprawdzenie

Warunek zadania daje iloczyn 18, więc oba czynniki są niezerowe. Równość iloczynów wynika z wzoru na ciąg geometryczny dla każdego dopuszczalnego ilorazu.

\[a_3a_6=18\ne 0,\qquad a_2a_7=a_1^2q^7=a_3a_6=18\]

Zadanie 16

Matura 2026 · maj · F-2015 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Trygonometria

Dany jest trójkąt prostokątny \(ABC\), w którym bok \(AC\) jest przeciwprostokątną oraz \(|BC|=2\) i \(|AC|=2\sqrt{10}\). Oznaczmy kąt \(BCA\) przez \(\gamma\) (zobacz rysunek).

Sinus kąta \(\gamma\) jest równy

Trójkąt prostokątny ABC z kątem prostym przy B, kątem γ przy C oraz oznaczeniami długości AC = 2√10 i BC = 2.

\(\frac{1}{\sqrt{10}}\)

\(\frac{1}{3}\)

\(\frac{3}{\sqrt{10}}\)

\(\frac{\sqrt{10}}{\sqrt{11}}\)

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Obliczenie boku AB

Ponieważ AC jest przeciwprostokątną, kąt przy B jest prosty. Z twierdzenia Pitagorasa obliczamy bok leżący naprzeciw kąta γ.

\[|AB|^2=|AC|^2-|BC|^2=(2\sqrt{10})^2-2^2=40-4=36,\quad |AB|=6\]

2 Obliczenie sinusa

Sinus kąta ostrego to stosunek długości przyprostokątnej leżącej naprzeciw niego do długości przeciwprostokątnej.

\[\sin\gamma=\frac{|AB|}{|AC|}=\frac{6}{2\sqrt{10}}=\frac{3}{\sqrt{10}}\]

Odpowiedź

Poprawna odpowiedź: C.

\[\sin\gamma=\frac{3}{\sqrt{10}}\]

Sprawdzenie

Dla tego kąta cosinus wynosi 1/√10. Suma kwadratów obliczonego sinusa i cosinusa jest równa 1.

\[\left(\frac{3}{\sqrt{10}}\right)^2+\left(\frac{2}{2\sqrt{10}}\right)^2=\frac{9}{10}+\frac{1}{10}=1\]

Zadanie 17

Matura 2026 · maj · F-2015 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Trygonometria

Kąt \(\alpha\) jest ostry i spełnia warunek \(\frac{3\sin\alpha+4\cos\alpha}{4\cos\alpha}=6\).

Tangens kąta \(\alpha\) jest równy

\(\frac{5}{8}\)

\(\frac{8}{3}\)

\(\frac{32}{5}\)

\(\frac{20}{3}\)

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Usuń mianownik

Kąt jest ostry, więc \(\cos\alpha>0\) i możemy pomnożyć obie strony równania przez \(4\cos\alpha\).

\[3\sin\alpha+4\cos\alpha=24\cos\alpha\]

2 Oblicz tangens

Przenosimy wyrazy z cosinusem na jedną stronę i dzielimy przez niezerowe \(3\cos\alpha\).

\[3\sin\alpha=20\cos\alpha\quad\Longrightarrow\quad\tan\alpha=\frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}=\frac{20}{3}\]

Odpowiedź

Tangens kąta \(\alpha\) wynosi \(\frac{20}{3}\). Odpowiedź D.

\[\tan\alpha=\frac{20}{3}\]

Sprawdzenie

Dla kąta ostrego cosinus jest dodatni. Po podstawieniu otrzymanego tangensa do warunku lewa strona wynosi \(6\).

\[\frac{3\sin\alpha+4\cos\alpha}{4\cos\alpha}=\frac{3\tan\alpha+4}{4}=\frac{3\cdot\frac{20}{3}+4}{4}=6\]

Zadanie 18

Matura 2026 · maj · F-2015 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Planimetria

Punkty \(A\), \(B\), \(C\) oraz \(D\) leżą na okręgu o środku w punkcie \(O\). Punkt \(B\) leży na krótszym łuku \(AC\). Kąt \(CDA\) ma miarę \(50^\circ\), a kąt \(COB\) ma miarę \(30^\circ\) (zobacz rysunek).

Miara kąta ostrego \(BOA\) jest równa

Okrąg o środku O z punktami A, B, C i D na okręgu. Zaznaczono kąty CDA o mierze 50° i COB o mierze 30° oraz kąt BOA.

\(50^\circ\)

\(60^\circ\)

\(70^\circ\)

\(100^\circ\)

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Wyznaczenie kąta środkowego AOC

Kąt środkowy oparty na łuku AC zawierającym punkt B jest dwa razy większy od kąta wpisanego CDA opartego na tym samym łuku.

\[\angle AOC=2\angle CDA=2\cdot50^\circ=100^\circ\]

2 Obliczenie kąta BOA

Ponieważ B leży na krótszym łuku AC, promień OB dzieli kąt AOC na kąty BOA i COB.

\[\angle BOA=\angle AOC-\angle COB=100^\circ-30^\circ=70^\circ\]

Odpowiedź

Miara kąta BOA wynosi 70°, odpowiedź C.

\[\boxed{\angle BOA=70^\circ\quad\text{(C)}}\]

Sprawdzenie

Suma otrzymanego kąta BOA i danego kąta COB wynosi 100°, czyli dwukrotność kąta CDA. Kąt 70° jest ostry.

\[70^\circ+30^\circ=100^\circ=2\cdot50^\circ\]

Zadanie 19

Matura 2026 · maj · F-2015 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Planimetria

W okrąg \(O\) o promieniu \(9\sqrt{3}\) wpisano trójkąt równoboczny \(T\).

Bok trójkąta \(T\) ma długość

\(\frac{27}{2}\)

\(\frac{27\sqrt{3}}{2}\)

\(27\)

\(27\sqrt{3}\)

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Związek promienia z wysokością

W trójkącie równobocznym środek okręgu opisanego dzieli wysokość w stosunku 2:1, licząc od wierzchołka. Wysokość trójkąta o boku \(a\) wynosi \(\frac{a\sqrt{3}}{2}\).

\[R=\frac{2}{3}h=\frac{2}{3}\cdot\frac{a\sqrt{3}}{2}=\frac{a\sqrt{3}}{3}\]

2 Obliczenie boku

Podstawiamy podany promień i rozwiązujemy równanie względem \(a\).

\[9\sqrt{3}=\frac{a\sqrt{3}}{3}\quad\Rightarrow\quad a=27\]

Odpowiedź

Bok trójkąta ma długość 27. Odpowiedź C.

\[a=27\]

Sprawdzenie

Dla boku 27 promień okręgu opisanego wynosi 9√3, zgodnie z treścią zadania.

\[R=\frac{27\sqrt{3}}{3}=9\sqrt{3}\]

Zadanie 20

Matura 2026 · maj · F-2015 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Planimetria

Na płaszczyźnie dane są cztery proste: \(k\), \(l\), \(m\) oraz \(n\). Proste \(k\) oraz \(l\) są równoległe. Prosta \(m\) przecina proste \(k\) oraz \(l\) w punktach – odpowiednio – \(A\) oraz \(C\). Prosta \(n\) przecina proste \(k\) oraz \(l\) w punktach – odpowiednio – \(D\) oraz \(B\). Odcinki \(AC\) i \(BD\) przecinają się w punkcie \(O\). Ponadto \(|OA|=12\), \(|OB|=6\) oraz \(|OC|=8\) (zobacz rysunek).

Odcinek \(OD\) ma długość

Dwie proste równoległe k i l przecięte prostymi m i n. Punkty A i D leżą na prostej k, punkty C i B na prostej l. Odcinki AC i BD przecinają się w punkcie O; zaznaczono długości OA równe 12, OB równe 6 i OC równe 8.

\(4\)

\(9\)

\(10\)

\(16\)

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Podobieństwo trójkątów

Ponieważ proste k i l są równoległe, kąty przy A i C oraz przy D i B są odpowiednio równe. Kąty przy O są wierzchołkowe, więc trójkąty AOD i COB są podobne.

\[\triangle AOD\sim\triangle COB\]

2 Obliczenie długości OD

Odpowiadające sobie boki trójkątów podobnych są proporcjonalne. Podstawiamy podane długości i rozwiązujemy równanie.

\[\frac{|OD|}{|OB|}=\frac{|OA|}{|OC|},\qquad \frac{|OD|}{6}=\frac{12}{8},\qquad |OD|=6\cdot\frac{12}{8}=9\]

Odpowiedź

Odcinek OD ma długość 9. Odpowiedź B.

\[|OD|=9\]

Sprawdzenie

Stosunki odpowiadających sobie boków są równe: 9 do 6 oraz 12 do 8 dają 3 do 2.

\[\frac{9}{6}=\frac{12}{8}=\frac{3}{2}\]

Zadanie 21

Matura 2026 · maj · F-2015 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Geometria analityczna na płaszczyźnie kartezjańskiej

W układzie współrzędnych \((x,y)\) dana jest prosta \(k\) o równaniu \(y=-\frac{1}{3}x+2\). Prosta \(l\) jest równoległa do prostej \(k\) i przechodzi przez punkt \((2,-2)\).

Prosta \(l\) przecina oś \(Oy\) w punkcie

\((0,-3)\)

\(\left(0,-\frac{1}{2}\right)\)

\((0,-1)\)

\(\left(0,-\frac{4}{3}\right)\)

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Wyznaczenie współczynnika kierunkowego

Proste równoległe mają ten sam współczynnik kierunkowy, więc prosta l ma równanie o postaci podanej we wzorze.

\[y=-\frac{1}{3}x+b\]

2 Obliczenie wyrazu wolnego

Podstawiamy współrzędne punktu, przez który przechodzi prosta l, aby obliczyć b.

\[-2=-\frac{1}{3}\cdot 2+b=-\frac{2}{3}+b\quad\Longrightarrow\quad b=-\frac{4}{3}\]

3 Wyznaczenie punktu przecięcia

Na osi Oy współrzędna x jest równa zeru. Po jej podstawieniu otrzymujemy współrzędną y.

\[x=0\quad\Longrightarrow\quad y=-\frac{1}{3}\cdot 0-\frac{4}{3}=-\frac{4}{3}\]

Odpowiedź

Prosta l przecina oś Oy w punkcie (0, −4/3). Odpowiedź D.

\[D:\ \left(0,-\frac{4}{3}\right)\]

Sprawdzenie

Punkt (2, −2) należy do wyznaczonej prostej, a jej współczynnik kierunkowy jest równy współczynnikowi prostej k.

\[-\frac{1}{3}\cdot 2-\frac{4}{3}=-2\]

Zadanie 22

Matura 2026 · maj · F-2015 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Stereometria

Pole powierzchni całkowitej sześcianu jest równe \(12\).

Długość przekątnej tego sześcianu jest równa

\(\sqrt{2}\)

\(2\)

\(2\sqrt{2}\)

\(\sqrt{6}\)

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Obliczenie krawędzi

Sześcian ma sześć jednakowych ścian, więc jego pole całkowite wynosi \(6a^2\).

\[6a^2=12\quad\Rightarrow\quad a^2=2\quad\Rightarrow\quad a=\sqrt{2}\]

2 Obliczenie przekątnej

Z twierdzenia Pitagorasa w trzech prostopadłych kierunkach kwadrat przekątnej sześcianu jest sumą kwadratów trzech krawędzi.

\[d^2=a^2+a^2+a^2=3\cdot2=6\quad\Rightarrow\quad d=\sqrt{6}\]

Odpowiedź

Przekątna ma długość \(\sqrt{6}\). Odpowiedź D.

\[d=\sqrt{6}\]

Sprawdzenie

Dla krawędzi \(\sqrt{2}\) pole całkowite wynosi \(6(\sqrt{2})^2=12\), zgodnie z treścią zadania.

\[6(\sqrt{2})^2=12\]

Zadanie 23

Matura 2026 · maj · F-2015 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Stereometria

Stożek i walec mają równe wysokości. Promień podstawy stożka jest dwa razy większy od promienia podstawy walca.

Stosunek objętości stożka do objętości walca jest równy

\(\frac{1}{12}\)

\(\frac{1}{6}\)

\(\frac{2}{3}\)

\(\frac{4}{3}\)

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Oznaczenie wymiarów

Ponieważ wysokości są równe, oznaczamy je przez h. Jeśli promień walca wynosi r, to promień stożka wynosi 2r.

\[r>0,\quad h>0,\quad R=2r\]

2 Obliczenie stosunku objętości

Objętość stożka jest równa jednej trzeciej iloczynu pola podstawy i wysokości, a objętość walca — całemu takiemu iloczynowi. Podstawiamy wymiary i skracamy wspólne czynniki.

\[\frac{V_s}{V_w}=\frac{\frac13\pi(2r)^2h}{\pi r^2h}=\frac{4\pi r^2h}{3\pi r^2h}=\frac43\]

Odpowiedź

Stosunek objętości stożka do objętości walca wynosi 4/3. Odpowiedź D.

\[\frac{V_s}{V_w}=\frac43\]

Sprawdzenie

Dla r=1 i h=3 objętość stożka wynosi 4π, a walca 3π, więc ich stosunek to 4/3.

\[\frac{\frac13\pi\cdot 2^2\cdot 3}{\pi\cdot 1^2\cdot 3}=\frac{4\pi}{3\pi}=\frac43\]

Zadanie 24

Matura 2026 · maj · F-2015 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Kombinatoryka

Wszystkich liczb naturalnych trzycyfrowych nieparzystych, w których zapisie dziesiętnym występują tylko cyfry \(0,\ 1,\ 2,\ 3,\ 4,\ 5,\ 6\) (np.: \(321,\ 555\)), jest

\(6\cdot 7\cdot 3\)

\(6\cdot 7\cdot 7\)

\(7\cdot 7\cdot 3\)

\(7\cdot 7\cdot 7\)

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Wybór cyfr

Cyfra setek nie może być zerem, cyfra dziesiątek może być dowolną z podanych cyfr, a cyfra jedności musi być nieparzysta.

\[6\text{ możliwości na setki},\quad 7\text{ na dziesiątki},\quad 3\text{ na jedności }(1,3,5)\]

2 Obliczenie liczby zapisów

Wybory cyfr są niezależne, więc mnożymy liczby możliwości.

\[6\cdot 7\cdot 3=126\]

Odpowiedź

Takich liczb jest 126. Odpowiedź A.

\[126=6\cdot 7\cdot 3\]

Sprawdzenie

Dla każdej z trzech możliwych cyfr jedności istnieje 6·7=42 zapisów dwóch pierwszych cyfr. Łącznie daje to 3·42=126; każdy zapis jest trzycyfrowy i nieparzysty.

\[3\cdot(6\cdot 7)=126\]

Zadanie 25

Matura 2026 · maj · F-2015 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Rachunek prawdopodobieństwa i statystyka

Średnia arytmetyczna trzech liczb: \(a,\ b,\ c\), jest równa \(2\).
Średnia arytmetyczna czterech liczb: \(d,\ e,\ f,\ g\), jest równa \(5{,}5\).

Średnia arytmetyczna siedmiu liczb: \(a,\ b,\ c,\ d,\ e,\ f,\ g\), jest równa

\(3{,}5\)

\(3{,}75\)

\(4\)

\(4{,}25\)

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Obliczenie sum

Sumę liczb otrzymujemy, mnożąc ich średnią przez liczbę składników.

\[a+b+c=3\cdot2=6,\qquad d+e+f+g=4\cdot5{,}5=22\]

2 Średnia siedmiu liczb

Dodajemy obie sumy i dzielimy przez 7.

\[\frac{a+b+c+d+e+f+g}{7}=\frac{6+22}{7}=4\]

Odpowiedź

C. Średnia wynosi 4.

\[4\]

Sprawdzenie

Średnia 4 oznacza sumę 28; obliczone sumy grup dają 6 + 22 = 28.

\[7\cdot4=28=6+22\]

Zadanie 26

Matura 2026 · maj · F-2015 · poziom podstawowy

Otwarte2 pkt

Równania i nierówności

Rozwiąż nierówność

\(3x^2+4x\geq 6x+8\)

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Przenieś wyrazy na jedną stronę

Aby wyznaczyć, kiedy różnica stron jest nieujemna, sprowadzamy nierówność do postaci z zerem po prawej stronie.

\[3x^2+4x\geq 6x+8\iff 3x^2-2x-8\geq 0\]

2 Rozłóż trójmian na czynniki

Postać iloczynowa pozwala odczytać miejsca zerowe i znak wyrażenia.

\[3x^2-2x-8=(3x+4)(x-2),\qquad x=-\frac{4}{3}\ \text{lub}\ x=2\]

3 Wyznacz przedziały rozwiązań

Iloczyn jest nieujemny, gdy oba czynniki mają ten sam znak; uwzględniamy też miejsca zerowe.

\[(3x+4)(x-2)\geq 0\iff x\leq-\frac{4}{3}\ \text{lub}\ x\geq 2\]

Odpowiedź

Zbiorem rozwiązań jest suma dwóch przedziałów.

\[x\in\left(-\infty,-\frac{4}{3}\right]\cup[2,\infty)\]

Sprawdzenie

Dla obu końców przedziałów iloczyn wynosi zero. Między nimi, na przykład dla x=0, wynosi −8, więc ten przedział nie należy do rozwiązania.

\[\left(3\cdot 0+4\right)(0-2)=-8<0\]

Zadanie 27

Matura 2026 · maj · F-2015 · poziom podstawowy

Otwarte2 pkt

Wyrażenia algebraiczne

Wykaż, że dla każdej liczby rzeczywistej \(a\) i dla każdej liczby rzeczywistej \(b\) prawdziwa jest nierówność

\(a(a-b)\geq b(a-3b)\)

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Przenieś wyrazy na jedną stronę

Nierówność jest równoważna temu, że różnica lewej i prawej strony jest nieujemna.

\[a(a-b)-b(a-3b)=a^2-2ab+3b^2\]

2 Zapisz różnicę jako sumę kwadratów

Kwadrat każdej liczby rzeczywistej jest nieujemny, więc otrzymana suma jest nieujemna dla wszystkich rzeczywistych a i b.

\[a^2-2ab+3b^2=(a-b)^2+2b^2\geq 0\]

Odpowiedź

Nierówność jest prawdziwa dla każdej pary liczb rzeczywistych a i b. Równość zachodzi tylko dla a=b=0.

\[a(a-b)\geq b(a-3b)\quad\text{dla wszystkich }a,b\in\mathbb{R}\]

Sprawdzenie

Po rozwinięciu kwadratu otrzymujemy dokładnie różnicę stron nierówności. Suma jest równa zeru tylko wtedy, gdy b=0 oraz a-b=0, czyli a=b=0; wówczas obie strony nierówności wynoszą zero.

\[(a-b)^2+2b^2=a^2-2ab+3b^2=a(a-b)-b(a-3b)\]

Zadanie 28

Matura 2026 · maj · F-2015 · poziom podstawowy

Otwarte2 pkt

Na przedstawienie w pewnym teatrze sprzedawano bilety według poniższego cennika.

CENNIK BILETÓW
Rodzaj biletu	Cena w złotych
Normalny	35
Ulgowy	25

Na to przedstawienie sprzedano łącznie 200 biletów.
Po opłaceniu kosztów związanych z organizacją przedstawienia w wysokości \(25\%\) wpływów ze sprzedaży biletów organizatorom pozostało 4665 zł.

Oblicz liczbę biletów ulgowych sprzedanych na to przedstawienie.

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Obliczenie wpływów

Organizatorom pozostało 75% wpływów, ponieważ koszty wyniosły 25%.

\[0{,}75W=4665\quad\Rightarrow\quad W=\frac{4665}{0{,}75}=6220\ \text{zł}\]

2 Ułożenie równania

Jeśli sprzedano x biletów ulgowych, to biletów normalnych sprzedano 200−x. Suma przychodów z obu rodzajów biletów wynosi 6220 zł.

\[25x+35(200-x)=6220\]

3 Rozwiązanie równania

Upraszczamy równanie, aby wyznaczyć liczbę biletów ulgowych.

\[25x+7000-35x=6220\quad\Rightarrow\quad 10x=780\quad\Rightarrow\quad x=78\]

Odpowiedź

Sprzedano 78 biletów ulgowych.

\[78\]

Sprawdzenie

Sprzedano też 122 bilety normalne. Wpływy wyniosły 6220 zł, a po odjęciu 25% kosztów pozostało 4665 zł. Liczby biletów sumują się do 200.

\[78+122=200,\quad 78\cdot25+122\cdot35=6220,\quad 6220\cdot0{,}75=4665\]

Zadanie 29

Matura 2026 · maj · F-2015 · poziom podstawowy

Otwarte2 pkt

Dany jest trójkąt \(KLM\), w którym \(|KM|=a\) oraz \(|LM|=b\). Dwusieczna kąta \(LMK\) przecina bok \(KL\) w punkcie \(N\) (zobacz rysunek).

Wykaż, że stosunek pola trójkąta \(KNM\) do pola trójkąta \(NLM\) jest równy \(\frac{a}{b}\).

Trójkąt KLM z punktem N na boku KL. Odcinek MN jest dwusieczną kąta LMK. Bok KM oznaczono a, a bok LM oznaczono b.

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Zapisanie pól

Korzystamy ze wzoru na pole trójkąta z dwóch boków i sinusa kąta między nimi. Kąty przy wierzchołku M są równe, ponieważ MN jest dwusieczną.

\[\angle KMN=\angle NML=\alpha,\qquad P_{KNM}=\frac12 a\cdot |MN|\sin\alpha,\qquad P_{NLM}=\frac12 b\cdot |MN|\sin\alpha\]

2 Obliczenie stosunku

Dzielimy pola i skracamy wspólny, dodatni czynnik.

\[\frac{P_{KNM}}{P_{NLM}}=\frac{\frac12 a|MN|\sin\alpha}{\frac12 b|MN|\sin\alpha}=\frac{a}{b}\]

Odpowiedź

Stosunek pola trójkąta KNM do pola trójkąta NLM wynosi \(\frac{a}{b}\).

\[\frac{P_{KNM}}{P_{NLM}}=\frac{a}{b}\]

Sprawdzenie

W trójkącie niedegenerowanym \(|MN|>0\) oraz \(0<\alpha<\pi\), więc \(\sin\alpha>0\). Skrócony czynnik jest zatem niezerowy, a oba pola są dodatnie.

\[\frac12|MN|\sin\alpha>0\]

Zadanie 30

Matura 2026 · maj · F-2015 · poziom podstawowy

Otwarte2 pkt

Dany jest ostrosłup prawidłowy czworokątny, w którym przekątna podstawy ma długość \(8\sqrt{3}\). Krawędź boczna tego ostrosłupa jest nachylona do płaszczyzny podstawy pod kątem \(30^\circ\).

Oblicz objętość tego ostrosłupa.

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Pole podstawy

Podstawą jest kwadrat. Jego pole obliczamy z długości przekątnej.

\[P_p=\frac{d^2}{2}=\frac{(8\sqrt{3})^2}{2}=96\]

2 Wysokość ostrosłupa

W ostrosłupie prawidłowym wysokość pada na środek podstawy. Rzut krawędzi bocznej na podstawę ma długość połowy przekątnej, więc korzystamy z tangensa kąta nachylenia.

\[\frac{d}{2}=4\sqrt{3},\qquad \tan 30^\circ=\frac{h}{4\sqrt{3}},\qquad h=4\sqrt{3}\cdot\frac{1}{\sqrt{3}}=4\]

3 Objętość

Objętość ostrosłupa jest równa jednej trzeciej iloczynu pola podstawy i wysokości.

\[V=\frac{1}{3}P_ph=\frac{1}{3}\cdot96\cdot4=128\]

Odpowiedź

Objętość ostrosłupa wynosi 128 jednostek sześciennych.

\[V=128\]

Sprawdzenie

Dla otrzymanej wysokości stosunek wysokości do długości rzutu krawędzi bocznej wynosi tyle co tangens kąta 30°, więc spełniony jest warunek nachylenia.

\[\frac{h}{d/2}=\frac{4}{4\sqrt{3}}=\frac{1}{\sqrt{3}}=\tan 30^\circ\]

Zadanie 31

Matura 2026 · maj · F-2015 · poziom podstawowy

Otwarte2 pkt

Dane są dwa zbiory cyfr: \(X=\{1,3,5,7,9\}\) oraz \(Y=\{0,2,4,6,8\}\). Losujemy jedną cyfrę ze zbioru \(X\), a następnie losujemy jedną cyfrę ze zbioru \(Y\). Następnie zapisujemy liczbę dwucyfrową w ten sposób, że cyfra wylosowana ze zbioru \(X\) jest cyfrą dziesiątek, a cyfra wylosowana ze zbioru \(Y\) jest cyfrą jedności tej liczby dwucyfrowej.

Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia \(A\) polegającego na tym, że otrzymana w ten sposób liczba dwucyfrowa będzie podzielna przez \(6\).

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Liczba możliwych wyników

Każdą z pięciu cyfr dziesiątek można połączyć z każdą z pięciu cyfr jedności, więc otrzymujemy 25 jednakowo prawdopodobnych liczb.

\[|\Omega|=5\cdot5=25\]

2 Warunek podzielności

Cyfra jedności zawsze jest parzysta. Liczba będzie więc podzielna przez 6 dokładnie wtedy, gdy suma jej cyfr będzie podzielna przez 3.

\[6\mid(10x+y)\iff 3\mid(x+y)\]

3 Liczby sprzyjające

Dla każdej cyfry dziesiątek wybieramy te cyfry jedności, które dają sumę podzielną przez 3.

\[\begin{aligned}x=1&:\ y\in\{2,8\}\\x=3&:\ y\in\{0,6\}\\x=5&:\ y=4\\x=7&:\ y\in\{2,8\}\\x=9&:\ y\in\{0,6\}\end{aligned}\qquad |A|=2+2+1+2+2=9\]

4 Obliczenie prawdopodobieństwa

Dzielimy liczbę wyników sprzyjających przez liczbę wszystkich wyników.

\[P(A)=\frac{|A|}{|\Omega|}=\frac{9}{25}\]

Odpowiedź

Prawdopodobieństwo wynosi 9/25.

\[P(A)=\frac{9}{25}\]

Sprawdzenie

Otrzymane liczby to 12, 18, 30, 36, 54, 72, 78, 90 i 96. Jest ich dziewięć i każda jest podzielna przez 6.

\[\{12,18,30,36,54,72,78,90,96\}\subseteq\{6k:k\in\mathbb{N}\}\]

Zadanie 32

Matura 2026 · maj · F-2015 · poziom podstawowy

Otwarte4 pkt

W układzie współrzędnych \((x,y)\) wykresem funkcji kwadratowej \(f\) jest parabola o wierzchołku w punkcie \(W=(3,-2)\). Funkcja kwadratowa \(g\) jest określona za pomocą funkcji \(f\) wzorem \(g(x)=f(x+1)\). Jednym z miejsc zerowych funkcji \(g\) jest liczba \(0\).

Wyznacz wzór funkcji \(f\) w postaci ogólnej.

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Zapisz postać kanoniczną

Wierzchołek paraboli ma współrzędne \((3,-2)\), więc wzór funkcji zawiera niewiadomy współczynnik \(a\).

\[f(x)=a(x-3)^2-2,\quad a\ne 0\]

2 Wyznacz współczynnik

Ponieważ \(0\) jest miejscem zerowym funkcji \(g\), mamy \(g(0)=f(1)=0\). Podstawiamy \(x=1\).

\[0=a(1-3)^2-2=4a-2\quad\Rightarrow\quad a=\frac12\]

3 Rozwiń wzór

Rozwijamy kwadrat, aby otrzymać postać ogólną.

\[f(x)=\frac12(x-3)^2-2=\frac12x^2-3x+\frac52\]

Odpowiedź

Wzór funkcji f w postaci ogólnej:

\[f(x)=\frac12x^2-3x+\frac52\]

Sprawdzenie

Dla x=1 funkcja przyjmuje wartość 0, zatem g(0)=0. Ponieważ współczynnik przy kwadracie jest różny od zera, a postać kanoniczna ma postać podaną w rozwiązaniu, wierzchołkiem jest (3,−2).

\[f(1)=\frac12-3+\frac52=0,\qquad f(x)=\frac12(x-3)^2-2\]

Zadanie 33

Matura 2026 · maj · F-2015 · poziom podstawowy

Otwarte4 pkt

Ciąg arytmetyczny \((a_n)\) jest określony wzorem \(a_n=3n+5\) dla każdej liczby naturalnej \(n\geq 1\). Trzywyrazowy ciąg \((a_1,a_9,a_k)\) jest geometryczny.

Oblicz \(k\) oraz sumę \(S_k\) początkowych \(k\) wyrazów ciągu arytmetycznego \((a_n)\).

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Wyznaczenie znanych wyrazów

Podstawiamy indeksy do wzoru ciągu, aby otrzymać dwa pierwsze wyrazy ciągu geometrycznego.

\[a_1=3\cdot1+5=8,\qquad a_9=3\cdot9+5=32\]

2 Obliczenie k

W ciągu geometrycznym kwadrat środkowego wyrazu jest iloczynem wyrazów skrajnych. Korzystamy z tego warunku i ze wzoru na a_k.

\[32^2=8a_k\Rightarrow a_k=128,\qquad 3k+5=128\Rightarrow k=41\]

3 Obliczenie sumy

Sumę ciągu arytmetycznego obliczamy jako liczbę wyrazów pomnożoną przez średnią pierwszego i ostatniego wyrazu.

\[S_{41}=\frac{41(a_1+a_{41})}{2}=\frac{41(8+128)}{2}=2788\]

Odpowiedź

k = 41, a suma 41 początkowych wyrazów wynosi 2788.

\[k=41,\qquad S_k=S_{41}=2788\]

Sprawdzenie

Dla k = 41 otrzymujemy a₄₁ = 128. Ilorazy 32 : 8 i 128 : 32 są równe 4, więc wskazane trzy wyrazy rzeczywiście tworzą ciąg geometryczny. Ponadto suma 41 wyrazów o pierwszym wyrazie 8 i różnicy 3 wynosi 2788.

\[a_{41}=3\cdot41+5=128,\qquad \frac{32}{8}=\frac{128}{32}=4,\qquad 41\cdot8+\frac{41\cdot40}{2}\cdot3=2788\]

Zadanie 34

Matura 2026 · maj · F-2015 · poziom podstawowy

Otwarte5 pkt

Geometria analityczna na płaszczyźnie kartezjańskiej

W układzie współrzędnych \((x,y)\) punkty \(A=(-4,-2)\) i \(B=(-2,10)\) są wierzchołkami trójkąta równoramiennego \(ABC\), w którym \(|AC|=|BC|\). Wierzchołek \(C\) leży na osi \(Ox\) układu współrzędnych.

Oblicz współrzędne wierzchołka \(C\) oraz pole trójkąta \(ABC\).

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Oznaczenie współrzędnych

Ponieważ punkt C leży na osi Ox, jego druga współrzędna jest równa zero.

\[C=(t,0)\]

2 Wyznaczenie punktu C

Równość ramion oznacza równość kwadratów ich długości. Korzystamy ze wzoru na odległość punktów.

\[(t+4)^2+2^2=(t+2)^2+10^2\quad\Longrightarrow\quad t^2+8t+20=t^2+4t+104\quad\Longrightarrow\quad t=21\]

3 Obliczenie pola

Pole jest połową wartości bezwzględnej wyznacznika wektorów wychodzących z punktu A.

\[\overrightarrow{AB}=(2,12),\quad\overrightarrow{AC}=(25,2),\quad P=\frac12|2\cdot2-12\cdot25|=148\]

Odpowiedź

Wierzchołek C ma współrzędne (21,0), a pole trójkąta ABC wynosi 148 jednostek kwadratowych.

\[C=(21,0),\qquad P_{ABC}=148\]

Sprawdzenie

Kwadraty długości obu ramion wynoszą 629, więc warunek równoramienności jest spełniony. Wektorów AB i AC nie można przedstawić jako wielokrotności, zatem punkty tworzą trójkąt.

\[|AC|^2=25^2+2^2=629=23^2+10^2=|BC|^2,\qquad \det(\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC})=-296\ne0\]