Zadanie 33 — matura 2026, maj | Matematyka podstawowa, F-2015

Matura 2026 · maj · F-2015 · poziom podstawowy

Otwarte4 pkt

Ciąg arytmetyczny \((a_n)\) jest określony wzorem \(a_n=3n+5\) dla każdej liczby naturalnej \(n\geq 1\). Trzywyrazowy ciąg \((a_1,a_9,a_k)\) jest geometryczny.

Oblicz \(k\) oraz sumę \(S_k\) początkowych \(k\) wyrazów ciągu arytmetycznego \((a_n)\).

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Wyznaczenie znanych wyrazów

Podstawiamy indeksy do wzoru ciągu, aby otrzymać dwa pierwsze wyrazy ciągu geometrycznego.

\[a_1=3\cdot1+5=8,\qquad a_9=3\cdot9+5=32\]

2 Obliczenie k

W ciągu geometrycznym kwadrat środkowego wyrazu jest iloczynem wyrazów skrajnych. Korzystamy z tego warunku i ze wzoru na a_k.

\[32^2=8a_k\Rightarrow a_k=128,\qquad 3k+5=128\Rightarrow k=41\]

3 Obliczenie sumy

Sumę ciągu arytmetycznego obliczamy jako liczbę wyrazów pomnożoną przez średnią pierwszego i ostatniego wyrazu.

\[S_{41}=\frac{41(a_1+a_{41})}{2}=\frac{41(8+128)}{2}=2788\]

Odpowiedź

k = 41, a suma 41 początkowych wyrazów wynosi 2788.

\[k=41,\qquad S_k=S_{41}=2788\]

Sprawdzenie

Dla k = 41 otrzymujemy a₄₁ = 128. Ilorazy 32 : 8 i 128 : 32 są równe 4, więc wskazane trzy wyrazy rzeczywiście tworzą ciąg geometryczny. Ponadto suma 41 wyrazów o pierwszym wyrazie 8 i różnicy 3 wynosi 2788.

\[a_{41}=3\cdot41+5=128,\qquad \frac{32}{8}=\frac{128}{32}=4,\qquad 41\cdot8+\frac{41\cdot40}{2}\cdot3=2788\]