Zadanie 32 — matura 2026, maj | Matematyka podstawowa, F-2015

Matura 2026 · maj · F-2015 · poziom podstawowy

Otwarte4 pkt

W układzie współrzędnych \((x,y)\) wykresem funkcji kwadratowej \(f\) jest parabola o wierzchołku w punkcie \(W=(3,-2)\). Funkcja kwadratowa \(g\) jest określona za pomocą funkcji \(f\) wzorem \(g(x)=f(x+1)\). Jednym z miejsc zerowych funkcji \(g\) jest liczba \(0\).

Wyznacz wzór funkcji \(f\) w postaci ogólnej.

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Zapisz postać kanoniczną

Wierzchołek paraboli ma współrzędne \((3,-2)\), więc wzór funkcji zawiera niewiadomy współczynnik \(a\).

\[f(x)=a(x-3)^2-2,\quad a\ne 0\]

2 Wyznacz współczynnik

Ponieważ \(0\) jest miejscem zerowym funkcji \(g\), mamy \(g(0)=f(1)=0\). Podstawiamy \(x=1\).

\[0=a(1-3)^2-2=4a-2\quad\Rightarrow\quad a=\frac12\]

3 Rozwiń wzór

Rozwijamy kwadrat, aby otrzymać postać ogólną.

\[f(x)=\frac12(x-3)^2-2=\frac12x^2-3x+\frac52\]

Odpowiedź

Wzór funkcji f w postaci ogólnej:

\[f(x)=\frac12x^2-3x+\frac52\]

Sprawdzenie

Dla x=1 funkcja przyjmuje wartość 0, zatem g(0)=0. Ponieważ współczynnik przy kwadracie jest różny od zera, a postać kanoniczna ma postać podaną w rozwiązaniu, wierzchołkiem jest (3,−2).

\[f(1)=\frac12-3+\frac52=0,\qquad f(x)=\frac12(x-3)^2-2\]