Zadanie 34 — matura 2026, maj | Matematyka podstawowa, F-2015

Matura 2026 · maj · F-2015 · poziom podstawowy

Otwarte5 pkt

Geometria analityczna na płaszczyźnie kartezjańskiej

W układzie współrzędnych \((x,y)\) punkty \(A=(-4,-2)\) i \(B=(-2,10)\) są wierzchołkami trójkąta równoramiennego \(ABC\), w którym \(|AC|=|BC|\). Wierzchołek \(C\) leży na osi \(Ox\) układu współrzędnych.

Oblicz współrzędne wierzchołka \(C\) oraz pole trójkąta \(ABC\).

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Oznaczenie współrzędnych

Ponieważ punkt C leży na osi Ox, jego druga współrzędna jest równa zero.

\[C=(t,0)\]

2 Wyznaczenie punktu C

Równość ramion oznacza równość kwadratów ich długości. Korzystamy ze wzoru na odległość punktów.

\[(t+4)^2+2^2=(t+2)^2+10^2\quad\Longrightarrow\quad t^2+8t+20=t^2+4t+104\quad\Longrightarrow\quad t=21\]

3 Obliczenie pola

Pole jest połową wartości bezwzględnej wyznacznika wektorów wychodzących z punktu A.

\[\overrightarrow{AB}=(2,12),\quad\overrightarrow{AC}=(25,2),\quad P=\frac12|2\cdot2-12\cdot25|=148\]

Odpowiedź

Wierzchołek C ma współrzędne (21,0), a pole trójkąta ABC wynosi 148 jednostek kwadratowych.

\[C=(21,0),\qquad P_{ABC}=148\]

Sprawdzenie

Kwadraty długości obu ramion wynoszą 629, więc warunek równoramienności jest spełniony. Wektorów AB i AC nie można przedstawić jako wielokrotności, zatem punkty tworzą trójkąt.

\[|AC|^2=25^2+2^2=629=23^2+10^2=|BC|^2,\qquad \det(\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC})=-296\ne0\]