Otwarte2 pkt
Rozwiąż nierówność
\(3x^2+4x\geq 6x+8\)
Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie
1 Przenieś wyrazy na jedną stronę
Aby wyznaczyć, kiedy różnica stron jest nieujemna, sprowadzamy nierówność do postaci z zerem po prawej stronie.
\[3x^2+4x\geq 6x+8\iff 3x^2-2x-8\geq 0\]
2 Rozłóż trójmian na czynniki
Postać iloczynowa pozwala odczytać miejsca zerowe i znak wyrażenia.
\[3x^2-2x-8=(3x+4)(x-2),\qquad x=-\frac{4}{3}\ \text{lub}\ x=2\]
3 Wyznacz przedziały rozwiązań
Iloczyn jest nieujemny, gdy oba czynniki mają ten sam znak; uwzględniamy też miejsca zerowe.
\[(3x+4)(x-2)\geq 0\iff x\leq-\frac{4}{3}\ \text{lub}\ x\geq 2\]
Odpowiedź
Zbiorem rozwiązań jest suma dwóch przedziałów.
\[x\in\left(-\infty,-\frac{4}{3}\right]\cup[2,\infty)\]
Sprawdzenie
Dla obu końców przedziałów iloczyn wynosi zero. Między nimi, na przykład dla x=0, wynosi −8, więc ten przedział nie należy do rozwiązania.
\[\left(3\cdot 0+4\right)(0-2)=-8<0\]