Otwarte2 pkt
Wykaż, że dla każdej liczby rzeczywistej \(a\) i dla każdej liczby rzeczywistej \(b\) prawdziwa jest nierówność
\(a(a-b)\geq b(a-3b)\)
Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie
1 Przenieś wyrazy na jedną stronę
Nierówność jest równoważna temu, że różnica lewej i prawej strony jest nieujemna.
\[a(a-b)-b(a-3b)=a^2-2ab+3b^2\]
2 Zapisz różnicę jako sumę kwadratów
Kwadrat każdej liczby rzeczywistej jest nieujemny, więc otrzymana suma jest nieujemna dla wszystkich rzeczywistych a i b.
\[a^2-2ab+3b^2=(a-b)^2+2b^2\geq 0\]
Odpowiedź
Nierówność jest prawdziwa dla każdej pary liczb rzeczywistych a i b. Równość zachodzi tylko dla a=b=0.
\[a(a-b)\geq b(a-3b)\quad\text{dla wszystkich }a,b\in\mathbb{R}\]
Sprawdzenie
Po rozwinięciu kwadratu otrzymujemy dokładnie różnicę stron nierówności. Suma jest równa zeru tylko wtedy, gdy b=0 oraz a-b=0, czyli a=b=0; wówczas obie strony nierówności wynoszą zero.
\[(a-b)^2+2b^2=a^2-2ab+3b^2=a(a-b)-b(a-3b)\]