Zamknięte1 pkt
Kąt \(\alpha\) jest ostry i spełnia warunek \(\frac{3\sin\alpha+4\cos\alpha}{4\cos\alpha}=6\).
Tangens kąta \(\alpha\) jest równy
A
\(\frac{5}{8}\)
B
\(\frac{8}{3}\)
C
\(\frac{32}{5}\)
D
\(\frac{20}{3}\)
Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie
1 Usuń mianownik
Kąt jest ostry, więc \(\cos\alpha>0\) i możemy pomnożyć obie strony równania przez \(4\cos\alpha\).
\[3\sin\alpha+4\cos\alpha=24\cos\alpha\]
2 Oblicz tangens
Przenosimy wyrazy z cosinusem na jedną stronę i dzielimy przez niezerowe \(3\cos\alpha\).
\[3\sin\alpha=20\cos\alpha\quad\Longrightarrow\quad\tan\alpha=\frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}=\frac{20}{3}\]
Odpowiedź
Tangens kąta \(\alpha\) wynosi \(\frac{20}{3}\). Odpowiedź D.
\[\tan\alpha=\frac{20}{3}\]
Sprawdzenie
Dla kąta ostrego cosinus jest dodatni. Po podstawieniu otrzymanego tangensa do warunku lewa strona wynosi \(6\).
\[\frac{3\sin\alpha+4\cos\alpha}{4\cos\alpha}=\frac{3\tan\alpha+4}{4}=\frac{3\cdot\frac{20}{3}+4}{4}=6\]