Otwarte2 pkt
Dany jest ostrosłup prawidłowy czworokątny, w którym przekątna podstawy ma długość \(8\sqrt{3}\). Krawędź boczna tego ostrosłupa jest nachylona do płaszczyzny podstawy pod kątem \(30^\circ\).
Oblicz objętość tego ostrosłupa.
Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie
1 Pole podstawy
Podstawą jest kwadrat. Jego pole obliczamy z długości przekątnej.
\[P_p=\frac{d^2}{2}=\frac{(8\sqrt{3})^2}{2}=96\]
2 Wysokość ostrosłupa
W ostrosłupie prawidłowym wysokość pada na środek podstawy. Rzut krawędzi bocznej na podstawę ma długość połowy przekątnej, więc korzystamy z tangensa kąta nachylenia.
\[\frac{d}{2}=4\sqrt{3},\qquad \tan 30^\circ=\frac{h}{4\sqrt{3}},\qquad h=4\sqrt{3}\cdot\frac{1}{\sqrt{3}}=4\]
3 Objętość
Objętość ostrosłupa jest równa jednej trzeciej iloczynu pola podstawy i wysokości.
\[V=\frac{1}{3}P_ph=\frac{1}{3}\cdot96\cdot4=128\]
Odpowiedź
Objętość ostrosłupa wynosi 128 jednostek sześciennych.
\[V=128\]
Sprawdzenie
Dla otrzymanej wysokości stosunek wysokości do długości rzutu krawędzi bocznej wynosi tyle co tangens kąta 30°, więc spełniony jest warunek nachylenia.
\[\frac{h}{d/2}=\frac{4}{4\sqrt{3}}=\frac{1}{\sqrt{3}}=\tan 30^\circ\]