Otwarte2 pkt
Dany jest trójkąt \(KLM\), w którym \(|KM|=a\) oraz \(|LM|=b\). Dwusieczna kąta \(LMK\) przecina bok \(KL\) w punkcie \(N\) (zobacz rysunek).
Wykaż, że stosunek pola trójkąta \(KNM\) do pola trójkąta \(NLM\) jest równy \(\frac{a}{b}\).
Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie
1 Zapisanie pól
Korzystamy ze wzoru na pole trójkąta z dwóch boków i sinusa kąta między nimi. Kąty przy wierzchołku M są równe, ponieważ MN jest dwusieczną.
\[\angle KMN=\angle NML=\alpha,\qquad P_{KNM}=\frac12 a\cdot |MN|\sin\alpha,\qquad P_{NLM}=\frac12 b\cdot |MN|\sin\alpha\]
2 Obliczenie stosunku
Dzielimy pola i skracamy wspólny, dodatni czynnik.
\[\frac{P_{KNM}}{P_{NLM}}=\frac{\frac12 a|MN|\sin\alpha}{\frac12 b|MN|\sin\alpha}=\frac{a}{b}\]
Odpowiedź
Stosunek pola trójkąta KNM do pola trójkąta NLM wynosi \(\frac{a}{b}\).
\[\frac{P_{KNM}}{P_{NLM}}=\frac{a}{b}\]
Sprawdzenie
W trójkącie niedegenerowanym \(|MN|>0\) oraz \(0<\alpha<\pi\), więc \(\sin\alpha>0\). Skrócony czynnik jest zatem niezerowy, a oba pola są dodatnie.
\[\frac12|MN|\sin\alpha>0\]