Zadanie 20 — matura 2026, maj | Matematyka podstawowa, F-2015

Matura 2026 · maj · F-2015 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Na płaszczyźnie dane są cztery proste: \(k\), \(l\), \(m\) oraz \(n\). Proste \(k\) oraz \(l\) są równoległe. Prosta \(m\) przecina proste \(k\) oraz \(l\) w punktach – odpowiednio – \(A\) oraz \(C\). Prosta \(n\) przecina proste \(k\) oraz \(l\) w punktach – odpowiednio – \(D\) oraz \(B\). Odcinki \(AC\) i \(BD\) przecinają się w punkcie \(O\). Ponadto \(|OA|=12\), \(|OB|=6\) oraz \(|OC|=8\) (zobacz rysunek).

Odcinek \(OD\) ma długość

Dwie proste równoległe k i l przecięte prostymi m i n. Punkty A i D leżą na prostej k, punkty C i B na prostej l. Odcinki AC i BD przecinają się w punkcie O; zaznaczono długości OA równe 12, OB równe 6 i OC równe 8.

\(4\)

\(9\)

\(10\)

\(16\)

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Podobieństwo trójkątów

Ponieważ proste k i l są równoległe, kąty przy A i C oraz przy D i B są odpowiednio równe. Kąty przy O są wierzchołkowe, więc trójkąty AOD i COB są podobne.

\[\triangle AOD\sim\triangle COB\]

2 Obliczenie długości OD

Odpowiadające sobie boki trójkątów podobnych są proporcjonalne. Podstawiamy podane długości i rozwiązujemy równanie.

\[\frac{|OD|}{|OB|}=\frac{|OA|}{|OC|},\qquad \frac{|OD|}{6}=\frac{12}{8},\qquad |OD|=6\cdot\frac{12}{8}=9\]

Odpowiedź

Odcinek OD ma długość 9. Odpowiedź B.

\[|OD|=9\]

Sprawdzenie

Stosunki odpowiadających sobie boków są równe: 9 do 6 oraz 12 do 8 dają 3 do 2.

\[\frac{9}{6}=\frac{12}{8}=\frac{3}{2}\]