Zamknięte1 pkt
Ciąg geometryczny \((a_n)\) jest określony dla każdej liczby naturalnej \(n\geqslant 1\). Wyrazy trzeci i szósty tego ciągu spełniają warunek \(a_3\cdot a_6=18\).
Iloczyn \(a_2\cdot a_7\) jest równy
A
\(9\)
B
\(14\)
C
\(18\)
D
\(36\)
Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie
1 Zapisz wyrazy ciągu
W ciągu geometrycznym każdy wyraz ma postać wynikającą z pierwszego wyrazu i ilorazu.
\[a_n=a_1q^{n-1}\]
2 Porównaj iloczyny
W obu iloczynach suma wykładników przy ilorazie jest równa 7, więc iloczyny są równe.
\[a_3a_6=(a_1q^2)(a_1q^5)=a_1^2q^7,\qquad a_2a_7=(a_1q)(a_1q^6)=a_1^2q^7\]
Odpowiedź
Iloczyn wynosi 18. Odpowiedź C.
\[a_2a_7=a_3a_6=18\]
Sprawdzenie
Warunek zadania daje iloczyn 18, więc oba czynniki są niezerowe. Równość iloczynów wynika z wzoru na ciąg geometryczny dla każdego dopuszczalnego ilorazu.
\[a_3a_6=18\ne 0,\qquad a_2a_7=a_1^2q^7=a_3a_6=18\]