Arkusz maturalny

Matematyka — matura 2021

Poziom podstawowyCzerwiecFormuła 2015

Zobacz zadania i rozwiązania 35 zadań z arkusza

ArkuszPobierz PDF KluczPobierz PDF

Zadania z arkusza — rozwiązania krok po kroku

35 zadań · Rozwiń rozwiązanie pod wybranym zadaniem.

Zadanie 1

Matura 2021 · czerwiec · F-2015 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Liczby rzeczywiste

Wartość wyrażenia $\sqrt{2}\cdot(\sqrt{2}-\sqrt{3})+\sqrt{3}\cdot(\sqrt{2}-\sqrt{3})$ jest równa

$5-2\sqrt{6}$

$5$

$5+2\sqrt{6}$

$-1$

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Wyłącz wspólny czynnik

W obu składnikach występuje ten sam nawias, więc korzystamy z rozdzielności mnożenia względem dodawania.

\[\sqrt{2}(\sqrt{2}-\sqrt{3})+\sqrt{3}(\sqrt{2}-\sqrt{3})=(\sqrt{2}+\sqrt{3})(\sqrt{2}-\sqrt{3})\]

2 Zastosuj wzór skróconego mnożenia

Iloczyn sumy i różnicy tych samych liczb jest różnicą ich kwadratów.

\[(\sqrt{2}+\sqrt{3})(\sqrt{2}-\sqrt{3})=(\sqrt{2})^2-(\sqrt{3})^2=2-3=-1\]

Odpowiedź

Wartość wyrażenia wynosi −1. Odpowiedź D.

\[-1\]

Sprawdzenie

Po wymnożeniu nawiasów wyrazy z pierwiastkiem z 6 się redukują, a pozostałe dają −1.

\[2-\sqrt{6}+\sqrt{6}-3=-1\]

Zadanie 2

Matura 2021 · czerwiec · F-2015 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Liczby rzeczywiste

Liczba $\left(7^{\frac{5}{4}}\cdot 7^{\frac{1}{4}}\right)^{\frac{2}{3}}$ jest równa

$7^{\frac{5}{3}}$

$7^1$

$7^{\frac{3}{2}}$

$7^{\frac{10}{3}}$

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Połączenie potęg

Mnożąc potęgi o tej samej podstawie, dodajemy wykładniki.

\[7^{\frac54}\cdot7^{\frac14}=7^{\frac54+\frac14}=7^{\frac32}\]

2 Podniesienie do potęgi

Przy potęgowaniu potęgi mnożymy wykładniki.

\[\left(7^{\frac32}\right)^{\frac23}=7^{\frac32\cdot\frac23}=7^1=7\]

Odpowiedź

Odpowiedź B: 7.

\[7^1=7\]

Sprawdzenie

Iloczyn wykładników wynosi 1, więc otrzymany wynik jest równy 7.

\[\left(\frac54+\frac14\right)\cdot\frac23=\frac32\cdot\frac23=1\]

Zadanie 3

Matura 2021 · czerwiec · F-2015 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Liczby rzeczywiste

Niech $\log_3 18=c$. Wtedy $\log_3 54$ jest równy

$c-1$

$c$

$c+1$

$c+2$

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Zapisanie liczby 54 jako iloczynu

Ponieważ 54 jest trzykrotnością 18, możemy zastosować wzór na logarytm iloczynu.

\[54=3\cdot18\]

2 Obliczenie logarytmu

Logarytm iloczynu jest sumą logarytmów, a logarytm z 3 przy podstawie 3 wynosi 1.

\[\log_3 54=\log_3(3\cdot18)=\log_3 3+\log_3 18=1+c\]

Odpowiedź

Odpowiedź C: c+1.

\[\log_3 54=c+1\]

Sprawdzenie

Z definicji logarytmu 3 do potęgi c jest równe 18, więc 3 do potęgi c+1 jest równe 54.

\[3^{c+1}=3\cdot3^c=3\cdot18=54\]

Zadanie 4

Matura 2021 · czerwiec · F-2015 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Liczby rzeczywiste

Cenę drukarki obniżono o $20\%$, a następnie nową cenę obniżono o $10\%$. W wyniku obu tych zmian cena drukarki zmniejszyła się w stosunku do ceny sprzed obu obniżek o

$18\%$

$28\%$

$30\%$

$72\%$

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Obliczenie ceny po obniżkach

Przyjmujemy cenę początkową równą $x$. Po obniżce o $20\%$ pozostaje $80\%$ ceny, a po kolejnej obniżce o $10\%$ pozostaje $90\%$ nowej ceny.

\[x\cdot 0{,}8\cdot 0{,}9=0{,}72x\]

2 Obliczenie łącznej obniżki

Odejmujemy cenę końcową od początkowej i odnosimy różnicę do ceny początkowej.

\[\frac{x-0{,}72x}{x}=0{,}28=28\%\quad (x>0)\]

Odpowiedź

Cena zmniejszyła się o 28%. Odpowiedź B.

\[28\%\]

Sprawdzenie

Dla ceny początkowej 100 zł po obniżkach otrzymujemy 80 zł i 72 zł. Różnica 28 zł stanowi 28% ceny początkowej.

\[100\,\text{zł}\cdot 0{,}8\cdot 0{,}9=72\,\text{zł},\qquad \frac{100-72}{100}=28\%\]

Zadanie 5

Matura 2021 · czerwiec · F-2015 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Wyrażenia algebraiczne

Dla każdej liczby rzeczywistej $x$ wyrażenie $(x-1)^2-(2-x)^2$ jest równe

$2x-3$

$2x^2-6x-3$

$(2x-3)^2$

$9$

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Zastosowanie wzoru na różnicę kwadratów

Wyrażenie jest różnicą kwadratów, więc można je zapisać jako iloczyn sumy i różnicy podstaw.

\[(x-1)^2-(2-x)^2=[(x-1)-(2-x)][(x-1)+(2-x)]\]

2 Uproszczenie czynników

Po opuszczeniu nawiasów drugi czynnik jest równy 1.

\[[(x-1)-(2-x)][(x-1)+(2-x)]=(2x-3)\cdot 1=2x-3\]

Odpowiedź

Odpowiedź A: $2x-3$.

\[2x-3\]

Sprawdzenie

Bezpośrednie rozwinięcie kwadratów daje ten sam wynik dla każdego rzeczywistego $x$.

\[(x^2-2x+1)-(x^2-4x+4)=2x-3\]

Zadanie 6

Matura 2021 · czerwiec · F-2015 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Równania i nierówności

Wskaż rysunek, na którym przedstawiony jest zbiór wszystkich liczb rzeczywistych $x$, spełniających jednocześnie nierówności $0<7-3x$ oraz $7-3x\leq 5x-3$.

$Oś liczbowa: zaznaczone części na lewo od zamalowanego punktu $\frac{5}{4}$ oraz na prawo od niezamalowanego punktu $\frac{7}{3}$.$

$Oś liczbowa: zaznaczony odcinek od zamalowanego punktu $\frac{5}{4}$ do niezamalowanego punktu $\frac{7}{3}$.$

$Oś liczbowa: zaznaczona część na lewo od niezamalowanego punktu $\frac{7}{3}$.$

$Oś liczbowa: zaznaczona część na prawo od zamalowanego punktu $\frac{5}{4}$.$

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Pierwsza nierówność

Odejmujemy 7, a następnie dzielimy przez liczbę ujemną, więc zmieniamy zwrot nierówności.

\[0<7-3x\iff 3x<7\iff x<\frac{7}{3}\]

2 Druga nierówność

Przenosimy wyrazy z x na jedną stronę i dzielimy przez 8.

\[7-3x\leq 5x-3\iff 10\leq 8x\iff x\geq\frac{5}{4}\]

3 Część wspólna

Obie nierówności mają zachodzić jednocześnie, więc wybieramy część wspólną otrzymanych przedziałów.

\[x\in\left[\frac{5}{4},\frac{7}{3}\right)\]

Odpowiedź

Rysunek B.

\[\boxed{x\in\left[\frac{5}{4},\frac{7}{3}\right)}\]

Sprawdzenie

Liczba 5/4 spełnia obie nierówności, więc lewy koniec należy do zbioru. Dla 7/3 pierwsza nierówność jest fałszywa, więc prawy koniec nie należy do zbioru.

\[7-3\cdot\frac{5}{4}=\frac{13}{4}>0,\quad 5\cdot\frac{5}{4}-3=\frac{13}{4};\qquad 7-3\cdot\frac{7}{3}=0\]

Zadanie 7

Matura 2021 · czerwiec · F-2015 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Równania i nierówności

Rozwiązaniem równania $x\sqrt{3}+2=2x-8$ jest liczba

$10(2+\sqrt{3})$

$\frac{10}{\sqrt{3}-2}$

$10(\sqrt{3}-2)$

$\frac{\sqrt{3}+10}{2}$

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Przenieś wyrazy z x

Zbieramy wyrazy z niewiadomą po jednej stronie równania.

\[x\sqrt{3}+2=2x-8\quad\Longrightarrow\quad 10=x(2-\sqrt{3})\]

2 Wyznacz x

Ponieważ $2-\sqrt{3}\neq 0$, dzielimy przez ten współczynnik i usuwamy niewymierność z mianownika.

\[x=\frac{10}{2-\sqrt{3}}=\frac{10(2+\sqrt{3})}{(2-\sqrt{3})(2+\sqrt{3})}=10(2+\sqrt{3})\]

Odpowiedź

Odpowiedź A.

\[x=10(2+\sqrt{3})\]

Sprawdzenie

Dla otrzymanej liczby obie strony równania są równe.

\[x\sqrt{3}+2=30+20\sqrt{3}+2=32+20\sqrt{3}=2x-8\]

Zadanie 8

Matura 2021 · czerwiec · F-2015 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Równania i nierówności

Równanie $\frac{x^2-7x}{x^2-49}=0$ ma w zbiorze liczb rzeczywistych dokładnie

jedno rozwiązanie.

dwa rozwiązania.

trzy rozwiązania.

cztery rozwiązania.

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Wyznaczenie dziedziny

Mianownik ułamka nie może być równy zeru, więc wykluczamy jego miejsca zerowe.

\[x^2-49=(x-7)(x+7)\ne 0\quad\Longrightarrow\quad x\ne 7\ \text{i}\ x\ne -7\]

2 Wyznaczenie rozwiązania

Ułamek jest równy zeru, gdy jego licznik jest zerem, a mianownik jest różny od zera. Z dwóch miejsc zerowych licznika tylko 0 należy do dziedziny.

\[x^2-7x=x(x-7)=0\quad\Longrightarrow\quad x=0\ \text{lub}\ x=7;\qquad x=7\ \text{jest wykluczone}\]

Odpowiedź

Równanie ma dokładnie jedno rozwiązanie: x = 0. Odpowiedź A.

\[x=0\]

Sprawdzenie

Dla x = 0 mianownik wynosi −49, więc ułamek jest określony i równy 0. Wartość x = 7 zeruje mianownik, dlatego nie jest rozwiązaniem.

\[\frac{0^2-7\cdot 0}{0^2-49}=\frac{0}{-49}=0\]

Zadanie 9

Matura 2021 · czerwiec · F-2015 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Funkcje

Na rysunku przedstawiono wykres funkcji $f$ określonej w zbiorze $(-1,7)$.

Wskaż zdanie prawdziwe.

Wykres funkcji f w układzie współrzędnych, z siatką, osiami, grotami i oznaczeniami.

Funkcja $f$ ma trzy miejsca zerowe.

Zbiorem wartości funkcji $f$ jest $\langle -1,1)$.

Funkcja $f$ osiąga wartość największą równą $1$.

Funkcja $f$ osiąga wartości ujemne dla argumentów ze zbioru $(-1,0)$.

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Odczyt największej wartości

Poziomy odcinek wykresu od x=5 do x=6 ma wysokość 1. Żaden punkt wykresu nie leży wyżej, więc funkcja osiąga wartość największą równą 1.

\[f(5)=f(6)=1=\max_{x\in(-1,7)}f(x)\]

2 Sprawdzenie pozostałych zdań

Wykres przecina oś x w dwóch punktach. Osiąga także wartość −1, więc jego zbiorem wartości jest przedział domknięty. Dla argumentów od −1 do 0 wykres leży nad osią x.

\[f(x)=0\iff x\in\left\{1,\frac92\right\},\qquad W_f=[-1,1],\qquad f(x)>0\text{ dla }x\in(-1,0)\]

Odpowiedź

Prawdziwe jest zdanie C: funkcja osiąga wartość największą równą 1.

\[\boxed{\mathrm{C}}\]

Sprawdzenie

Wartość 1 jest przyjmowana na całym odcinku od x=5 do x=6, a pozostała część wykresu nie przekracza tej wysokości.

\[f(x)=1\text{ dla }x\in[5,6],\qquad f(x)\leq 1\text{ dla }x\in(-1,7)\]

Zadanie 10

Matura 2021 · czerwiec · F-2015 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Funkcje

Wykresem funkcji kwadratowej $f$ określonej wzorem $f(x)=-3(x+4)(x-2)$ jest parabola o wierzchołku $W=(p,q)$. Współrzędne wierzchołka $W$ spełniają warunki

$p>0$ i $q>0$

$p<0$ i $q>0$

$p<0$ i $q<0$

$p>0$ i $q<0$

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Wyznaczenie pierwszej współrzędnej

Wierzchołek leży w połowie między miejscami zerowymi paraboli, czyli między $-4$ a $2$.

\[p=\frac{-4+2}{2}=-1\]

2 Wyznaczenie drugiej współrzędnej

Podstawiamy $p=-1$ do wzoru funkcji, aby obliczyć wysokość wierzchołka.

\[q=f(-1)=-3(-1+4)(-1-2)=27\]

Odpowiedź

Wierzchołek ma współrzędne $W=(-1,27)$, więc $p<0$ i $q>0$. Odpowiedź B.

\[W=(-1,27),\quad p<0,\quad q>0\]

Sprawdzenie

Po sprowadzeniu wzoru do postaci kanonicznej otrzymujemy wierzchołek $(-1,27)$, co potwierdza oba znaki.

\[-3(x+4)(x-2)=-3(x+1)^2+27\]

Zadanie 11

Matura 2021 · czerwiec · F-2015 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Funkcje

Na rysunku przedstawiono fragment wykresu funkcji kwadratowej $f$. Jednym z miejsc zerowych tej funkcji jest liczba $2$. Do wykresu funkcji $f$ należy punkt $(0,3)$. Prosta o równaniu $x=-2$ jest osią symetrii paraboli, będącej wykresem funkcji $f$.

Drugim miejscem zerowym funkcji $f$ jest liczba

Fragment wykresu funkcji kwadratowej na siatce współrzędnych, wraz z osiami, grotami i oznaczeniami.

$-2$

$-3$

$-4$

$-6$

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Wykorzystanie osi symetrii

Oś symetrii paraboli leży w połowie odległości między miejscami zerowymi. Oznaczamy drugie miejsce zerowe przez $x_2$.

\[\frac{2+x_2}{2}=-2\]

2 Obliczenie drugiego miejsca zerowego

Mnożymy równanie przez $2$ i odejmujemy $2$ od obu stron.

\[2+x_2=-4\quad\Longrightarrow\quad x_2=-6\]

Odpowiedź

Drugim miejscem zerowym jest $-6$, czyli odpowiedź D.

\[x_2=-6\]

Sprawdzenie

Średnia miejsc zerowych $2$ i $-6$ wynosi $-2$, więc ich oś symetrii zgadza się z podaną.

\[\frac{2+(-6)}{2}=-2\]

Zadanie 12

Matura 2021 · czerwiec · F-2015 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Funkcje

Wartość funkcji $f$ dla argumentu $(-4)$ jest równa

Układ współrzędnych z siatką, oznaczonymi osiami i fragmentem wykresu funkcji kwadratowej

$-2$

$0$

$3$

$4$

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Wyznaczenie argumentu symetrycznego

Argumenty 0 i -4 leżą w jednakowej odległości od osi symetrii x=-2, więc funkcja ma dla nich tę samą wartość.

\[\frac{0+(-4)}{2}=-2,\qquad f(-4)=f(0)=3\]

Odpowiedź

Wartość funkcji wynosi 3. Odpowiedź C.

\[f(-4)=3\]

Sprawdzenie

Drugie miejsce zerowe to -6, symetryczne do 2 względem osi x=-2. Z warunku f(0)=3 otrzymujemy współczynnik -1/4; obliczenie ponownie daje f(-4)=3.

\[f(x)=a(x-2)(x+6),\quad 3=a(-2)\cdot6\Rightarrow a=-\frac14,\quad f(-4)=-\frac14(-6)\cdot2=3\]

Zadanie 13

Matura 2021 · czerwiec · F-2015 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Ciągi

Dane są ciągi $(a_n)$, $(b_n)$, $(c_n)$, $(d_n)$, określone dla każdej liczby naturalnej $n\geq 1$ wzorami: $a_n=20n+3$, $b_n=2n^2-3$, $c_n=n^2+10n-2$, $d_n=\frac{n+187}{n}$. Liczba $197$ jest dziesiątym wyrazem ciągu

$(a_n)$

$(b_n)$

$(c_n)$

$(d_n)$

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Obliczenie dziesiątych wyrazów

Podstawiamy $n=10$ do każdego wzoru, ponieważ szukamy dziesiątego wyrazu.

\[a_{10}=20\cdot10+3=203,\quad b_{10}=2\cdot10^2-3=197,\quad c_{10}=10^2+10\cdot10-2=198,\quad d_{10}=\frac{10+187}{10}=\frac{197}{10}\]

Odpowiedź

Liczba 197 jest dziesiątym wyrazem ciągu $(b_n)$. Odpowiedź: B.

\[b_{10}=197\]

Sprawdzenie

Warunek $n\geq1$ jest spełniony dla $n=10$. Pozostałe dziesiąte wyrazy to 203, 198 i $\frac{197}{10}$, więc żaden z nich nie jest równy 197.

\[10\geq1,\qquad 203\ne197,\quad198\ne197,\quad\frac{197}{10}\ne197\]

Zadanie 14

Matura 2021 · czerwiec · F-2015 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Ciągi

Ciąg geometryczny $(a_n)$, określony dla każdej liczby naturalnej $n\geq 1$, jest rosnący i wszystkie jego wyrazy są dodatnie. Ponadto spełniony jest warunek $a_3=a_1\cdot a_2$. Niech $q$ oznacza iloraz ciągu $(a_n)$. Wtedy

$a_1=\frac{1}{q}$

$a_1=q$

$a_1=q^2$

$a_1=q^3$

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Zapisanie wyrazów ciągu

W ciągu geometrycznym każdy kolejny wyraz otrzymujemy, mnożąc poprzedni przez iloraz $q$.

\[a_2=a_1q,\qquad a_3=a_1q^2\]

2 Wykorzystanie warunku

Podstawiamy te wyrazy do podanej równości. Ponieważ wyrazy są dodatnie, możemy podzielić obie strony przez $a_1q$.

\[a_1q^2=a_1\cdot a_1q\quad\Longrightarrow\quad q=a_1\]

Odpowiedź

Odpowiedź B: $a_1=q$.

\[a_1=q\]

Sprawdzenie

Dla $a_1=q$ mamy $a_2=q^2$ i $a_3=q^3=a_1a_2$. Ponieważ ciąg jest rosnący i dodatni, $q>1$, więc dzielenie przez $a_1q$ było dozwolone.

\[a_3=q^3=q\cdot q^2=a_1a_2\]

Zadanie 15

Matura 2021 · czerwiec · F-2015 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Trygonometria

Kąt o mierze $\alpha$ jest ostry i $\operatorname{tg}\alpha=\sqrt{5}$. Wtedy

$\cos^2\alpha=\frac{1}{6}$

$\cos^2\alpha=\frac{1}{5}$

$\cos^2\alpha=\frac{\sqrt{5}}{5}$

$\cos^2\alpha=\frac{5}{6}$

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Obliczenie kwadratu tangensa

Podnosimy podaną wartość do kwadratu, aby skorzystać z tożsamości trygonometrycznej.

\[\operatorname{tg}^2\alpha=(\sqrt{5})^2=5\]

2 Obliczenie kwadratu cosinusa

Korzystamy z tożsamości $1+\operatorname{tg}^2\alpha=\frac{1}{\cos^2\alpha}$.

\[\frac{1}{\cos^2\alpha}=1+5=6\quad\Rightarrow\quad\cos^2\alpha=\frac{1}{6}\]

Odpowiedź

Odpowiedź A.

\[\cos^2\alpha=\frac{1}{6}\]

Sprawdzenie

Dla kąta ostrego cosinus jest dodatni. Z otrzymanej wartości wynika $\sin^2\alpha=\frac{5}{6}$, więc kwadrat tangensa wynosi $\frac{5/6}{1/6}=5$, zgodnie z treścią zadania.

\[\operatorname{tg}^2\alpha=\frac{\sin^2\alpha}{\cos^2\alpha}=\frac{5/6}{1/6}=5\]

Zadanie 16

Matura 2021 · czerwiec · F-2015 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Planimetria

Na okręgu o środku w punkcie $O$ leżą punkty $A$, $B$ oraz $C$. Odcinek $AC$ jest średnicą tego okręgu, a kąt środkowy $AOB$ ma miarę $82^\circ$ (zobacz rysunek).

Miara kąta $OBC$ jest równa

Okrąg o środku O z punktami A, B i C, średnicą AC, odcinkami OB i BC oraz kątem AOB oznaczonym 82°.

$41^\circ$

$45^\circ$

$49^\circ$

$51^\circ$

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Wyznaczenie kąta BOC

Punkty A, O i C leżą na jednej prostej, ponieważ AC jest średnicą. Kąty AOB i BOC tworzą więc kąt półpełny.

\[\angle BOC=180^\circ-82^\circ=98^\circ\]

2 Obliczenie kąta OBC

OB i OC są promieniami okręgu, więc trójkąt OBC jest równoramienny. Jego kąty przy podstawie są równe.

\[\angle OBC=\frac{180^\circ-98^\circ}{2}=41^\circ\]

Odpowiedź

Miara kąta OBC wynosi 41°, odpowiedź A.

\[\angle OBC=41^\circ\]

Sprawdzenie

Suma kątów trójkąta OBC wynosi 180°.

\[41^\circ+41^\circ+98^\circ=180^\circ\]

Zadanie 17

Matura 2021 · czerwiec · F-2015 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Planimetria

Dane są okrąg i prosta styczna do tego okręgu w punkcie $A$. Punkty $B$ i $C$ są położone na okręgu tak, że $BC$ jest jego średnicą. Cięciwa $AB$ tworzy ze styczną kąt o mierze $40^\circ$ (zobacz rysunek).

Miara kąta $ABC$ jest równa

Okrąg z punktami A, B i C, średnicą BC oraz styczną w punkcie A. Kąt między cięciwą AB a styczną oznaczono jako 40°.

$20^\circ$

$40^\circ$

$45^\circ$

$50^\circ$

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Kąt między styczną a cięciwą

Z twierdzenia o kącie między styczną a cięciwą wynika, że jest on równy kątowi wpisanemu opartemu na tej samej cięciwie.

\[\angle ACB=40^\circ\]

2 Kąt oparty na średnicy

Kąt wpisany oparty na średnicy BC jest prosty.

\[\angle BAC=90^\circ\]

3 Obliczenie szukanego kąta

Suma kątów w trójkącie ABC wynosi 180°.

\[\angle ABC=180^\circ-90^\circ-40^\circ=50^\circ\]

Odpowiedź

Miara kąta ABC wynosi 50°. Odpowiedź D.

\[\angle ABC=50^\circ\]

Sprawdzenie

Obliczone kąty trójkąta ABC sumują się do 180°.

\[40^\circ+90^\circ+50^\circ=180^\circ\]

Zadanie 18

Matura 2021 · czerwiec · F-2015 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Planimetria

Dany jest trójkąt prostokątny $ABC$ o bokach $|AC|=24$, $|BC|=10$, $|AB|=26$. Dwusieczne kątów tego trójkąta przecinają się w punkcie $P$ (zobacz rysunek).

Odległość $x$ punktu $P$ od przeciwprostokątnej $AB$ jest równa

Trójkąt prostokątny ABC z oznaczeniami boków BC = 10, CA = 24 i AB = 26. Dwusieczne kątów przecinają się w punkcie P; odległość punktu P od boku AB oznaczono x.

$2$

$4$

$\frac{5}{2}$

$\frac{13}{3}$

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Pole i półobwód

Przyprostokątne mają długości 10 i 24, więc obliczamy pole trójkąta oraz jego półobwód.

\[S=\frac{10\cdot24}{2}=120,\qquad s=\frac{10+24+26}{2}=30\]

2 Odległość punktu P od boku

Punkt przecięcia dwusiecznych jest środkiem okręgu wpisanego, dlatego jego odległość od każdego boku wynosi x. Pole trójkąta jest równe iloczynowi półobwodu i tej odległości.

\[S=sx,\qquad 120=30x,\qquad x=4\]

Odpowiedź

Odległość wynosi 4. Odpowiedź B.

\[x=4\]

Sprawdzenie

Dla x = 4 wzór na pole daje 120, czyli tyle samo co wzór wykorzystujący przyprostokątne.

\[\frac{10+24+26}{2}\cdot4=120=\frac{10\cdot24}{2}\]

Zadanie 19

Matura 2021 · czerwiec · F-2015 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Planimetria

Jeden z boków równoległoboku ma długość równą $5$. Przekątne tego równoległoboku mogą mieć długości

$4$ i $6$

$4$ i $3$

$10$ i $10$

$5$ i $5$

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Warunek na długości przekątnych

Przekątne równoległoboku dzielą się na połowy. Ich połówki oraz bok długości 5 tworzą trójkąt, więc suma długości połówek musi być większa od 5.

\[\frac{p}{2}+\frac{q}{2}>5,\quad\text{czyli}\quad p+q>10\]

2 Sprawdzenie odpowiedzi

W odpowiedziach A i D suma wynosi 10, a w B jest mniejsza od 10. Odpowiedź C spełnia warunek i jest możliwa: prostokąt o bokach 5 oraz $5\sqrt{3}$ ma obie przekątne długości 10.

\[\sqrt{5^2+(5\sqrt{3})^2}=\sqrt{25+75}=10\]

Odpowiedź

C — przekątne mogą mieć długości 10 i 10.

\[p=q=10\]

Sprawdzenie

W skonstruowanym prostokącie jeden bok ma długość 5, a obie przekątne mają długość 10. Pozostałe pary odpadają, ponieważ ich sumy wynoszą odpowiednio 10, 7 i 10, więc nie spełniają ostrej nierówności trójkąta.

\[4+6=10,\quad 4+3=7,\quad 5+5=10\]

Zadanie 20

Matura 2021 · czerwiec · F-2015 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Planimetria

W pewnym trójkącie równoramiennym największy kąt ma miarę $120^\circ$, a najdłuższy bok ma długość $12$ (zobacz rysunek).

Najkrótsza wysokość tego trójkąta ma długość równą

Trójkąt równoramienny z kątem przy wierzchołku oznaczonym 120° i podstawą oznaczoną 12.

$6$

$2\sqrt{3}$

$4\sqrt{3}$

$6\sqrt{3}$

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Wybór wysokości

Pole trójkąta jest równe połowie iloczynu boku i opuszczonej na niego wysokości. Najkrótsza wysokość pada więc na najdłuższy bok, czyli podstawę długości 12.

\[P=\frac12 ah_a,\qquad h_a=\frac{2P}{a}\]

2 Podział trójkąta

W trójkącie równoramiennym wysokość opuszczona z wierzchołka dzieli podstawę i kąt przy wierzchołku na połowy.

\[\frac{12}{2}=6,\qquad \frac{120^\circ}{2}=60^\circ\]

3 Obliczenie wysokości

W powstałym trójkącie prostokątnym korzystamy z tangensa kąta 60°.

\[\tan 60^\circ=\frac{6}{h}=\sqrt{3},\qquad h=\frac{6}{\sqrt{3}}=2\sqrt{3}\]

Odpowiedź

Najkrótsza wysokość ma długość 2√3. Odpowiedź B.

\[h=2\sqrt{3}\quad\text{(B)}\]

Sprawdzenie

Dla otrzymanej wysokości stosunek połowy podstawy do wysokości wynosi √3, czyli tangens kąta 60°. Obie połówki tworzą zatem kąt 120° przy wierzchołku.

\[\frac{6}{2\sqrt{3}}=\sqrt{3}=\tan 60^\circ\]

Zadanie 21

Matura 2021 · czerwiec · F-2015 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Geometria analityczna na płaszczyźnie kartezjańskiej

Prosta przechodząca przez punkty $(-4,-1)$ oraz $(5,5)$ ma równanie

$y=x+3$

$y=\frac{2}{3}x+\frac{5}{3}$

$y=x-3$

$y=\frac{2}{3}x+\frac{11}{3}$

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Obliczenie współczynnika kierunkowego

Dla dwóch punktów dzielimy różnicę ich współrzędnych y przez różnicę współrzędnych x.

\[a=\frac{5-(-1)}{5-(-4)}=\frac{6}{9}=\frac{2}{3}\]

2 Wyznaczenie wyrazu wolnego

Podstawiamy punkt (5,5) do równania y=ax+b, aby obliczyć b.

\[5=\frac{2}{3}\cdot5+b,\quad b=5-\frac{10}{3}=\frac{5}{3}\]

Odpowiedź

Odpowiedź B.

\[y=\frac{2}{3}x+\frac{5}{3}\]

Sprawdzenie

Po podstawieniu obu podanych punktów otrzymujemy ich współrzędne y.

\[x=-4:\ \frac{2}{3}(-4)+\frac{5}{3}=-1;\qquad x=5:\ \frac{2}{3}\cdot5+\frac{5}{3}=5\]

Zadanie 22

Matura 2021 · czerwiec · F-2015 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Geometria analityczna na płaszczyźnie kartezjańskiej

Proste o równaniach $y=-\frac{1}{m-2}x-1$ i $y=\frac{1}{3}x+1$ są równoległe. Wynika stąd, że

$m=\frac{5}{3}$

$m=-1$

$m=\frac{7}{3}$

$m=5$

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Porównanie współczynników kierunkowych

Proste są równoległe, więc mają równe współczynniki kierunkowe. Pierwsze równanie wymaga $m\ne 2$.

\[-\frac{1}{m-2}=\frac{1}{3},\quad m\ne 2\]

2 Wyznaczenie parametru

Mnożymy równanie przez $3(m-2)$ i rozwiązujemy je.

\[-3=m-2\quad\Rightarrow\quad m=-1\]

Odpowiedź

Odpowiedź B: $m=-1$.

\[m=-1\]

Sprawdzenie

Dla $m=-1$ pierwszy współczynnik kierunkowy wynosi $\frac13$, a warunek $m\ne2$ jest spełniony. Wyrazy wolne są różne, więc są to dwie różne proste równoległe.

\[-\frac{1}{-1-2}=\frac13,\qquad -1\ne1\]

Zadanie 23

Matura 2021 · czerwiec · F-2015 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Geometria analityczna na płaszczyźnie kartezjańskiej

W prostokącie $ABCD$ dane są wierzchołki $C=(-3,1)$ oraz $D=(2,1)$. Bok $AD$ ma długość $6$. Pole tego prostokąta jest równe

$6\sqrt{29}$

$12\sqrt{2}$

$24$

$30$

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Długość boku CD

Punkty C i D mają tę samą drugą współrzędną, więc długość poziomego boku jest różnicą ich pierwszych współrzędnych.

\[|CD|=|2-(-3)|=5\]

2 Pole prostokąta

Boki CD i AD są sąsiednimi bokami prostokąta, dlatego mnożymy ich długości.

\[P=|CD|\cdot|AD|=5\cdot6=30\]

Odpowiedź

Pole wynosi 30. Odpowiedź D.

\[P=30\]

Sprawdzenie

Sąsiednie boki mają długości 5 i 6, więc ich iloczyn wynosi 30, zgodnie z odpowiedzią D.

\[5\cdot6=30\]

Zadanie 24

Matura 2021 · czerwiec · F-2015 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Geometria analityczna na płaszczyźnie kartezjańskiej

Obrazem prostej o równaniu $x-2y+3=0$ w symetrii osiowej względem osi $Oy$ jest prosta o równaniu

$-x+2y+3=0$

$-x+2y-3=0$

$x+2y-3=0$

$x+2y+3=0$

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Zastosowanie symetrii

W symetrii względem osi $Oy$ współrzędna $x$ zmienia znak, a $y$ pozostaje bez zmian. Podstawiamy więc $-x$ za $x$ w równaniu prostej.

\[-x-2y+3=0\quad\Longleftrightarrow\quad x+2y-3=0\]

Odpowiedź

Odpowiedź C.

\[x+2y-3=0\]

Sprawdzenie

Punkt $(-3,0)$ leży na danej prostej. Jego obraz $(3,0)$ spełnia otrzymane równanie, a zmiana znaku współrzędnej $x$ jest dokładnie symetrią względem osi $Oy$.

\[-3-2\cdot0+3=0,\qquad 3+2\cdot0-3=0\]

Zadanie 25

Matura 2021 · czerwiec · F-2015 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Stereometria

Graniastosłup prawidłowy ma $36$ krawędzi. Długość każdej z tych krawędzi jest równa $4$. Pole powierzchni bocznej tego graniastosłupa jest równe

$176$

$192$

$224$

$288$

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Liczba boków podstawy

Graniastosłup o podstawie n-kąta ma po n krawędzi w każdej podstawie oraz n krawędzi bocznych, więc łącznie 3n krawędzi.

\[3n=36\quad\Rightarrow\quad n=12\]

2 Pole powierzchni bocznej

Pole boczne jest iloczynem obwodu podstawy i wysokości. Wszystkie krawędzie mają długość 4, więc bok podstawy i wysokość są równe 4.

\[P_b=(12\cdot4)\cdot4=192\]

Odpowiedź

192, odpowiedź B.

\[P_b=192\]

Sprawdzenie

Dwanaście ścian bocznych to prostokąty o bokach 4 i 4. Ich łączne pole wynosi 12 · 16 = 192.

\[12\cdot(4\cdot4)=192\]

Zadanie 26

Matura 2021 · czerwiec · F-2015 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Stereometria

Wysokość ściany bocznej ostrosłupa prawidłowego sześciokątnego jest $2$ razy dłuższa od krawędzi jego podstawy. Stosunek pola powierzchni bocznej tego ostrosłupa do pola jego podstawy jest równy

$\frac{1}{2}$

$\frac{4\sqrt{3}}{3}$

$1$

$\frac{\sqrt{3}}{4}$

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Pole powierzchni bocznej

Oznaczamy krawędź podstawy przez $a>0$. Każda z sześciu ścian bocznych jest trójkątem o podstawie $a$ i wysokości $2a$.

\[P_b=6\cdot\frac{a\cdot 2a}{2}=6a^2\]

2 Pole podstawy

Sześciokąt foremny składa się z sześciu trójkątów równobocznych o boku $a$.

\[P_p=6\cdot\frac{a^2\sqrt{3}}{4}=\frac{3\sqrt{3}}{2}a^2\]

3 Obliczenie stosunku

Dzielimy pola i skracamy przez $a^2$, ponieważ $a>0$.

\[\frac{P_b}{P_p}=\frac{6a^2}{\frac{3\sqrt{3}}{2}a^2}=\frac{4}{\sqrt{3}}=\frac{4\sqrt{3}}{3}\]

Odpowiedź

Odpowiedź B.

\[\frac{4\sqrt{3}}{3}\]

Sprawdzenie

Dla a = 1 pola wynoszą odpowiednio 6 i 3√3/2, więc ich iloraz jest równy otrzymanemu wynikowi.

\[\frac{6}{3\sqrt{3}/2}=\frac{4\sqrt{3}}{3}\]

Zadanie 27

Matura 2021 · czerwiec · F-2015 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Rachunek prawdopodobieństwa i statystyka

W pudełku znajdują się płytki z literami. Na każdej płytce jest wydrukowana jedna litera – spółgłoskowa albo samogłoskowa. Płytek z literami spółgłoskowymi jest o $25\%$ więcej niż płytek z literami samogłoskowymi. Losujemy jedną płytkę. Prawdopodobieństwo wylosowania płytki z literą samogłoskową jest równe

$0{,}75$

$0{,}25$

$\frac{4}{9}$

$\frac{5}{9}$

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Ustalenie liczby płytek

Oznaczamy liczbę płytek z samogłoskami przez x. Spółgłosek jest o 25% więcej, więc ich liczba wynosi 1,25x.

\[S=x,\qquad P=1{,}25x=\frac{5}{4}x\]

2 Obliczenie prawdopodobieństwa

Dzielimy liczbę płytek z samogłoskami przez liczbę wszystkich płytek.

\[\Pr(\text{samogłoska})=\frac{x}{x+\frac{5}{4}x}=\frac{x}{\frac{9}{4}x}=\frac{4}{9}\]

Odpowiedź

C — prawdopodobieństwo wynosi 4/9.

\[\frac{4}{9}\]

Sprawdzenie

Przy 4 płytkach z samogłoskami spółgłoskowych jest 5, czyli o 25% więcej. Spośród 9 płytek 4 mają samogłoski.

\[\frac{5-4}{4}=25\%,\qquad \frac{4}{4+5}=\frac{4}{9}\]

Zadanie 28

Matura 2021 · czerwiec · F-2015 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Rachunek prawdopodobieństwa i statystyka

Średnia arytmetyczna czterech liczb dodatnich: $2$, $3x$, $3x+2$, $3x+4$ jest równa $\frac{13}{2}$. Wynika stąd, że

$x=9$

$x=\frac{13}{2}$

$x=\frac{5}{9}$

$x=2$

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Ułożenie równania

Średnia arytmetyczna to suma liczb podzielona przez ich liczbę.

\[\frac{2+3x+(3x+2)+(3x+4)}{4}=\frac{13}{2}\]

2 Obliczenie x

Sumujemy wyrazy podobne, mnożymy równanie przez 4 i rozwiązujemy je.

\[\frac{9x+8}{4}=\frac{13}{2}\quad\Longrightarrow\quad 9x+8=26\quad\Longrightarrow\quad x=2\]

Odpowiedź

Odpowiedź D: x = 2.

\[x=2\]

Sprawdzenie

Dla x = 2 otrzymujemy liczby 2, 6, 8 i 10. Wszystkie są dodatnie, a ich średnia wynosi 13/2.

\[\frac{2+6+8+10}{4}=\frac{26}{4}=\frac{13}{2}\]

Zadanie 29

Matura 2021 · czerwiec · F-2015 · poziom podstawowy

Otwarte2 pkt

Rozwiąż nierówność: $2(x+1)(x-3) \lt x^2-9$

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Przenieś wyrazy na jedną stronę

Rozwijamy nawiasy i odejmujemy prawą stronę, aby otrzymać nierówność kwadratową.

\[2(x^2-2x-3)-(x^2-9)<0\iff x^2-4x+3<0\]

2 Wyznacz przedział rozwiązań

Rozkładamy trójmian na czynniki. Iloczyn dwóch czynników liniowych jest ujemny między jego miejscami zerowymi.

\[(x-1)(x-3)<0\iff 1<x<3\]

Odpowiedź

Rozwiązaniem jest przedział $(1,3)$.

\[x\in(1,3)\]

Sprawdzenie

Dla x = 2 nierówność jest prawdziwa: −6 < −5. Dla x = 1 i x = 3 zachodzi równość, więc końce przedziału są wykluczone.

\[x=2:\quad 2(2+1)(2-3)=-6<-5=2^2-9;\qquad x=1,3:\quad (x-1)(x-3)=0\]

Zadanie 30

Matura 2021 · czerwiec · F-2015 · poziom podstawowy

Otwarte2 pkt

Wykaż, że dla wszystkich liczb rzeczywistych $a$, $b$ i $c$ takich, że $\frac{a+b}{2}>c$ i $\frac{b+c}{2}>a$, prawdziwa jest nierówność $\frac{a+c}{2}\lt b$.

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Usunięcie mianowników

Mnożymy obie założone nierówności przez dodatnią liczbę 2, więc ich zwroty się nie zmieniają.

\[a+b>2c,\qquad b+c>2a\]

2 Dodanie nierówności

Dodając stronami nierówności o tym samym zwrocie, otrzymujemy nierówność, z której wynika teza.

\[a+2b+c>2a+2c\quad\Longrightarrow\quad 2b>a+c\quad\Longrightarrow\quad b>\frac{a+c}{2}\]

Odpowiedź

Dla wszystkich liczb spełniających założenia zachodzi $\frac{a+c}{2}<b$.

\[\frac{a+c}{2}<b\]

Sprawdzenie

Obie różnice wynikające z założeń są dodatnie. Ich suma wynosi $2b-a-c$, więc $b-\frac{a+c}{2}>0$, zgodnie z tezą.

\[(a+b-2c)+(b+c-2a)=2b-a-c>0\]

Zadanie 31

Matura 2021 · czerwiec · F-2015 · poziom podstawowy

Otwarte2 pkt

Ciągi

Dany jest ciąg arytmetyczny $(a_n)$, określony dla wszystkich liczb naturalnych $n \geq 1$. Suma dwudziestu początkowych wyrazów tego ciągu jest równa $20a_{21}+62$. Oblicz różnicę ciągu $(a_n)$.

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Zapisz sumę

Korzystamy ze wzoru na sumę 20 początkowych wyrazów ciągu arytmetycznego.

\[S_{20}=\frac{20}{2}(2a_1+19d)=20a_1+190d\]

2 Wyznacz różnicę

Ponieważ 21. wyraz ma postać $a_{21}=a_1+20d$, podstawiamy oba wzory do podanej równości i rozwiązujemy równanie.

\[20a_1+190d=20(a_1+20d)+62\;\Longrightarrow\;-210d=62\;\Longrightarrow\;d=-\frac{31}{105}\]

Odpowiedź

Różnica ciągu wynosi $-\frac{31}{105}$.

\[d=-\frac{31}{105}\]

Sprawdzenie

Dla otrzymanej różnicy prawa strona podanej równości jest równa lewej, niezależnie od wartości $a_1$.

\[20a_{21}+62=20a_1+400\left(-\frac{31}{105}\right)+62=20a_1+190\left(-\frac{31}{105}\right)=S_{20}\]

Zadanie 32

Matura 2021 · czerwiec · F-2015 · poziom podstawowy

Otwarte2 pkt

Planimetria

Dany jest trapez o podstawach długości $a$ oraz $b$ i wysokości $h$. Każdą z podstaw tego trapezu wydłużono o 25%, a wysokość skrócono tak, że powstał nowy trapez o takim samym polu. Oblicz, o ile procent skrócono wysokość $h$ trapezu.

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Zapisanie pól

Pole trapezu jest równe połowie sumy podstaw pomnożonej przez wysokość. Po wydłużeniu każda podstawa ma 125% pierwotnej długości.

\[P=\frac{(a+b)h}{2},\qquad P'=\frac{(1{,}25a+1{,}25b)h'}{2}\]

2 Wyznaczenie nowej wysokości

Pola są równe, więc przyrównujemy wzory. Ponieważ suma długości podstaw jest dodatnia, możemy ją skrócić.

\[\frac{(a+b)h}{2}=\frac{1{,}25(a+b)h'}{2}\quad\Longrightarrow\quad h'=\frac{h}{1{,}25}=0{,}8h\]

3 Obliczenie procentu skrócenia

Nowa wysokość stanowi 80% pierwotnej, zatem ubyło 20%.

\[\frac{h-h'}{h}\cdot100\%=\frac{h-0{,}8h}{h}\cdot100\%=20\%\]

Odpowiedź

Wysokość skrócono o 20%.

\[20\%\]

Sprawdzenie

Po zmianie suma podstaw jest 1,25 razy większa, a wysokość stanowi 0,8 poprzedniej. Iloczyn tych czynników wynosi 1, więc pole pozostaje takie samo.

\[1{,}25\cdot0{,}8=1\]

Zadanie 33

Matura 2021 · czerwiec · F-2015 · poziom podstawowy

Otwarte2 pkt

Planimetria

W trójkącie $ABC$ boki $BC$ i $AC$ są równej długości. Prosta $k$ jest prostopadła do podstawy $AB$ tego trójkąta i przecina boki $AB$ oraz $BC$ w punktach – odpowiednio – $D$ i $E$. Pole czworokąta $ADEC$ jest 17 razy większe od pola trójkąta $BED$. Oblicz $\frac{|CE|}{|EB|}$.

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Podział trójkąta

Opuszczamy wysokość z C na AB i oznaczamy jej podstawę przez M. W trójkącie równoramiennym wysokość dzieli podstawę i pole na połowy.

\[P_{BMC}=\frac12P_{ABC}\]

2 Porównanie pól

Trójkąty BED i BMC są podobne, ponieważ ED i CM są prostopadłe do AB oraz mają wspólny kąt przy B. Stosunek ich pól jest kwadratem stosunku odpowiednich boków.

\[P_{ABC}=P_{ADEC}+P_{BED}=18P_{BED},\qquad \left(\frac{|BE|}{|BC|}\right)^2=\frac{P_{BED}}{P_{BMC}}=\frac{2P_{BED}}{P_{ABC}}=\frac19\]

3 Obliczenie ilorazu

Długości są dodatnie, więc wybieramy dodatni pierwiastek. Następnie odejmujemy BE od BC.

\[\frac{|BE|}{|BC|}=\frac13,\qquad \frac{|CE|}{|EB|}=\frac{|BC|-|BE|}{|BE|}=\frac{1-\frac13}{\frac13}=2\]

Odpowiedź

Szukany iloraz wynosi 2.

\[\frac{|CE|}{|EB|}=2\]

Sprawdzenie

Gdy BE stanowi jedną trzecią BC, pole BED stanowi jedną dziewiątą pola BMC, czyli jedną osiemnastą pola ABC. Pozostały czworokąt ma więc pole 17 razy większe od pola BED.

\[P_{BED}=\frac19P_{BMC}=\frac1{18}P_{ABC},\qquad P_{ADEC}=\frac{17}{18}P_{ABC}=17P_{BED}\]

Zadanie 34

Matura 2021 · czerwiec · F-2015 · poziom podstawowy

Otwarte2 pkt

Rachunek prawdopodobieństwa i statystyka

Ze zbioru wszystkich liczb naturalnych dwucyfrowych, których cyfra dziesiątek należy do zbioru $\{3,4,5,6,7,8\}$, a cyfra jedności należy do zbioru $\{0,1,2,3,4\}$, losujemy jedną liczbę. Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia polegającego na tym, że wylosujemy liczbę dwucyfrową, która jest podzielna przez 4.

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Policz wszystkie możliwe liczby

Cyfrę dziesiątek wybieramy na 6 sposobów, a cyfrę jedności na 5 sposobów, więc mnożymy liczby możliwości.

\[|\Omega|=6\cdot5=30\]

2 Policz liczby podzielne przez 4

Sprawdzamy liczby spełniające warunki zadania. Jest ich 9.

\[A=\{32,40,44,52,60,64,72,80,84\},\quad |A|=9\]

3 Oblicz prawdopodobieństwo

Każda z 30 liczb ma jednakową szansę wylosowania, więc dzielimy liczbę wyników sprzyjających przez liczbę wszystkich wyników.

\[P(A)=\frac{9}{30}=\frac{3}{10}\]

Odpowiedź

Prawdopodobieństwo wynosi 3/10.

\[P(A)=\frac{3}{10}\]

Sprawdzenie

W każdym z sześciu przedziałów od 30–34 do 80–84 liczba wypisanych wielokrotności 4 wynosi kolejno 1, 2, 1, 2, 1, 2. Daje to razem 9 liczb; każda ma dozwolone cyfry.

\[1+2+1+2+1+2=9\]

Zadanie 35

Matura 2021 · czerwiec · F-2015 · poziom podstawowy

Otwarte5 pkt

Geometria analityczna na płaszczyźnie kartezjańskiej

Podstawa $AB$ trójkąta równoramiennego $ABC$ jest zawarta w prostej o równaniu $y=-2x+16$. Wierzchołki $B$ i $C$ mają współrzędne $B=(3,10)$ i $C=(-2,3)$. Oblicz współrzędne wierzchołka $A$ i pole trójkąta $ABC$.

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Wyznaczenie punktu A

Punkt A leży na prostej podstawy. Jej wektor kierunkowy to (1,−2), więc zapisujemy współrzędne A za pomocą parametru t.

\[A=(3+t,\,10-2t)\]

2 Wykorzystanie równych ramion

Ponieważ AB jest podstawą, ramiona AC i BC mają równe długości. Rozwiązanie z t=0 oznacza punkt B, więc wybieramy drugie.

\[BC^2=5^2+7^2=74,\quad AC^2=(5+t)^2+(7-2t)^2=74-18t+5t^2;\quad 5t^2-18t=0\Rightarrow t=0\ \text{lub}\ t=\frac{18}{5};\quad A=\left(\frac{33}{5},\frac{14}{5}\right)\]

3 Obliczenie pola

Długość AB jest podstawą, a odległość punktu C od prostej AB jest wysokością trójkąta.

\[|AB|=\frac{18}{5}\sqrt5,\quad h=\frac{|2(-2)+3-16|}{\sqrt{2^2+1^2}}=\frac{17}{\sqrt5},\quad P=\frac12\cdot\frac{18\sqrt5}{5}\cdot\frac{17}{\sqrt5}=\frac{153}{5}\]

Odpowiedź

Wierzchołek A ma współrzędne (33/5, 14/5), a pole trójkąta wynosi 153/5 jednostek kwadratowych.

\[A=\left(\frac{33}{5},\frac{14}{5}\right),\qquad P=\frac{153}{5}\]

Sprawdzenie

Punkt A należy do prostej podstawy i jest różny od B. Kwadraty długości obu ramion są równe 74.

\[-2\cdot\frac{33}{5}+16=\frac{14}{5},\quad A\ne B,\quad AC^2=\left(\frac{43}{5}\right)^2+\left(-\frac15\right)^2=74=BC^2\]