Zamknięte1 pkt
Kąt o mierze \(\alpha\) jest ostry i \(\operatorname{tg}\alpha=\sqrt{5}\). Wtedy
A
\(\cos^2\alpha=\frac{1}{6}\)
B
\(\cos^2\alpha=\frac{1}{5}\)
C
\(\cos^2\alpha=\frac{\sqrt{5}}{5}\)
D
\(\cos^2\alpha=\frac{5}{6}\)
Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie
1 Obliczenie kwadratu tangensa
Podnosimy podaną wartość do kwadratu, aby skorzystać z tożsamości trygonometrycznej.
\[\operatorname{tg}^2\alpha=(\sqrt{5})^2=5\]
2 Obliczenie kwadratu cosinusa
Korzystamy z tożsamości \(1+\operatorname{tg}^2\alpha=\frac{1}{\cos^2\alpha}\).
\[\frac{1}{\cos^2\alpha}=1+5=6\quad\Rightarrow\quad\cos^2\alpha=\frac{1}{6}\]
Odpowiedź
Odpowiedź A.
\[\cos^2\alpha=\frac{1}{6}\]
Sprawdzenie
Dla kąta ostrego cosinus jest dodatni. Z otrzymanej wartości wynika \(\sin^2\alpha=\frac{5}{6}\), więc kwadrat tangensa wynosi \(\frac{5/6}{1/6}=5\), zgodnie z treścią zadania.
\[\operatorname{tg}^2\alpha=\frac{\sin^2\alpha}{\cos^2\alpha}=\frac{5/6}{1/6}=5\]