Zamknięte1 pkt
Ciąg geometryczny \((a_n)\), określony dla każdej liczby naturalnej \(n\geq 1\), jest rosnący i wszystkie jego wyrazy są dodatnie. Ponadto spełniony jest warunek \(a_3=a_1\cdot a_2\). Niech \(q\) oznacza iloraz ciągu \((a_n)\). Wtedy
A
\(a_1=\frac{1}{q}\)
B
\(a_1=q\)
C
\(a_1=q^2\)
D
\(a_1=q^3\)
Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie
1 Zapisanie wyrazów ciągu
W ciągu geometrycznym każdy kolejny wyraz otrzymujemy, mnożąc poprzedni przez iloraz \(q\).
\[a_2=a_1q,\qquad a_3=a_1q^2\]
2 Wykorzystanie warunku
Podstawiamy te wyrazy do podanej równości. Ponieważ wyrazy są dodatnie, możemy podzielić obie strony przez \(a_1q\).
\[a_1q^2=a_1\cdot a_1q\quad\Longrightarrow\quad q=a_1\]
Odpowiedź
Odpowiedź B: \(a_1=q\).
\[a_1=q\]
Sprawdzenie
Dla \(a_1=q\) mamy \(a_2=q^2\) i \(a_3=q^3=a_1a_2\). Ponieważ ciąg jest rosnący i dodatni, \(q>1\), więc dzielenie przez \(a_1q\) było dozwolone.
\[a_3=q^3=q\cdot q^2=a_1a_2\]