Otwarte2 pkt
Dany jest ciąg arytmetyczny \((a_n)\), określony dla wszystkich liczb naturalnych \(n \geq 1\). Suma dwudziestu początkowych wyrazów tego ciągu jest równa \(20a_{21}+62\). Oblicz różnicę ciągu \((a_n)\).
Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie
1 Zapisz sumę
Korzystamy ze wzoru na sumę 20 początkowych wyrazów ciągu arytmetycznego.
\[S_{20}=\frac{20}{2}(2a_1+19d)=20a_1+190d\]
2 Wyznacz różnicę
Ponieważ 21. wyraz ma postać \(a_{21}=a_1+20d\), podstawiamy oba wzory do podanej równości i rozwiązujemy równanie.
\[20a_1+190d=20(a_1+20d)+62\;\Longrightarrow\;-210d=62\;\Longrightarrow\;d=-\frac{31}{105}\]
Odpowiedź
Różnica ciągu wynosi \(-\frac{31}{105}\).
\[d=-\frac{31}{105}\]
Sprawdzenie
Dla otrzymanej różnicy prawa strona podanej równości jest równa lewej, niezależnie od wartości \(a_1\).
\[20a_{21}+62=20a_1+400\left(-\frac{31}{105}\right)+62=20a_1+190\left(-\frac{31}{105}\right)=S_{20}\]