Otwarte2 pkt
Wykaż, że dla wszystkich liczb rzeczywistych \(a\), \(b\) i \(c\) takich, że \(\frac{a+b}{2}>c\) i \(\frac{b+c}{2}>a\), prawdziwa jest nierówność \(\frac{a+c}{2}\lt b\).
Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie
1 Usunięcie mianowników
Mnożymy obie założone nierówności przez dodatnią liczbę 2, więc ich zwroty się nie zmieniają.
\[a+b>2c,\qquad b+c>2a\]
2 Dodanie nierówności
Dodając stronami nierówności o tym samym zwrocie, otrzymujemy nierówność, z której wynika teza.
\[a+2b+c>2a+2c\quad\Longrightarrow\quad 2b>a+c\quad\Longrightarrow\quad b>\frac{a+c}{2}\]
Odpowiedź
Dla wszystkich liczb spełniających założenia zachodzi \(\frac{a+c}{2}<b\).
\[\frac{a+c}{2}<b\]
Sprawdzenie
Obie różnice wynikające z założeń są dodatnie. Ich suma wynosi \(2b-a-c\), więc \(b-\frac{a+c}{2}>0\), zgodnie z tezą.
\[(a+b-2c)+(b+c-2a)=2b-a-c>0\]