Otwarte2 pkt
Dany jest trapez o podstawach długości \(a\) oraz \(b\) i wysokości \(h\). Każdą z podstaw tego trapezu wydłużono o 25%, a wysokość skrócono tak, że powstał nowy trapez o takim samym polu. Oblicz, o ile procent skrócono wysokość \(h\) trapezu.
Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie
1 Zapisanie pól
Pole trapezu jest równe połowie sumy podstaw pomnożonej przez wysokość. Po wydłużeniu każda podstawa ma 125% pierwotnej długości.
\[P=\frac{(a+b)h}{2},\qquad P'=\frac{(1{,}25a+1{,}25b)h'}{2}\]
2 Wyznaczenie nowej wysokości
Pola są równe, więc przyrównujemy wzory. Ponieważ suma długości podstaw jest dodatnia, możemy ją skrócić.
\[\frac{(a+b)h}{2}=\frac{1{,}25(a+b)h'}{2}\quad\Longrightarrow\quad h'=\frac{h}{1{,}25}=0{,}8h\]
3 Obliczenie procentu skrócenia
Nowa wysokość stanowi 80% pierwotnej, zatem ubyło 20%.
\[\frac{h-h'}{h}\cdot100\%=\frac{h-0{,}8h}{h}\cdot100\%=20\%\]
Odpowiedź
Wysokość skrócono o 20%.
\[20\%\]
Sprawdzenie
Po zmianie suma podstaw jest 1,25 razy większa, a wysokość stanowi 0,8 poprzedniej. Iloczyn tych czynników wynosi 1, więc pole pozostaje takie samo.
\[1{,}25\cdot0{,}8=1\]