Zadanie 33 — matura 2021, czerwiec | Matematyka podstawowa, F-2015

Matura 2021 · czerwiec · F-2015 · poziom podstawowy

Otwarte2 pkt

W trójkącie \(ABC\) boki \(BC\) i \(AC\) są równej długości. Prosta \(k\) jest prostopadła do podstawy \(AB\) tego trójkąta i przecina boki \(AB\) oraz \(BC\) w punktach – odpowiednio – \(D\) i \(E\). Pole czworokąta \(ADEC\) jest 17 razy większe od pola trójkąta \(BED\). Oblicz \(\frac{|CE|}{|EB|}\).

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Podział trójkąta

Opuszczamy wysokość z C na AB i oznaczamy jej podstawę przez M. W trójkącie równoramiennym wysokość dzieli podstawę i pole na połowy.

\[P_{BMC}=\frac12P_{ABC}\]

2 Porównanie pól

Trójkąty BED i BMC są podobne, ponieważ ED i CM są prostopadłe do AB oraz mają wspólny kąt przy B. Stosunek ich pól jest kwadratem stosunku odpowiednich boków.

\[P_{ABC}=P_{ADEC}+P_{BED}=18P_{BED},\qquad \left(\frac{|BE|}{|BC|}\right)^2=\frac{P_{BED}}{P_{BMC}}=\frac{2P_{BED}}{P_{ABC}}=\frac19\]

3 Obliczenie ilorazu

Długości są dodatnie, więc wybieramy dodatni pierwiastek. Następnie odejmujemy BE od BC.

\[\frac{|BE|}{|BC|}=\frac13,\qquad \frac{|CE|}{|EB|}=\frac{|BC|-|BE|}{|BE|}=\frac{1-\frac13}{\frac13}=2\]

Odpowiedź

Szukany iloraz wynosi 2.

\[\frac{|CE|}{|EB|}=2\]

Sprawdzenie

Gdy BE stanowi jedną trzecią BC, pole BED stanowi jedną dziewiątą pola BMC, czyli jedną osiemnastą pola ABC. Pozostały czworokąt ma więc pole 17 razy większe od pola BED.

\[P_{BED}=\frac19P_{BMC}=\frac1{18}P_{ABC},\qquad P_{ADEC}=\frac{17}{18}P_{ABC}=17P_{BED}\]