Otwarte5 pkt
Podstawa \(AB\) trójkąta równoramiennego \(ABC\) jest zawarta w prostej o równaniu \(y=-2x+16\). Wierzchołki \(B\) i \(C\) mają współrzędne \(B=(3,10)\) i \(C=(-2,3)\). Oblicz współrzędne wierzchołka \(A\) i pole trójkąta \(ABC\).
Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie
1 Wyznaczenie punktu A
Punkt A leży na prostej podstawy. Jej wektor kierunkowy to (1,−2), więc zapisujemy współrzędne A za pomocą parametru t.
\[A=(3+t,\,10-2t)\]
2 Wykorzystanie równych ramion
Ponieważ AB jest podstawą, ramiona AC i BC mają równe długości. Rozwiązanie z t=0 oznacza punkt B, więc wybieramy drugie.
\[BC^2=5^2+7^2=74,\quad AC^2=(5+t)^2+(7-2t)^2=74-18t+5t^2;\quad 5t^2-18t=0\Rightarrow t=0\ \text{lub}\ t=\frac{18}{5};\quad A=\left(\frac{33}{5},\frac{14}{5}\right)\]
3 Obliczenie pola
Długość AB jest podstawą, a odległość punktu C od prostej AB jest wysokością trójkąta.
\[|AB|=\frac{18}{5}\sqrt5,\quad h=\frac{|2(-2)+3-16|}{\sqrt{2^2+1^2}}=\frac{17}{\sqrt5},\quad P=\frac12\cdot\frac{18\sqrt5}{5}\cdot\frac{17}{\sqrt5}=\frac{153}{5}\]
Odpowiedź
Wierzchołek A ma współrzędne (33/5, 14/5), a pole trójkąta wynosi 153/5 jednostek kwadratowych.
\[A=\left(\frac{33}{5},\frac{14}{5}\right),\qquad P=\frac{153}{5}\]
Sprawdzenie
Punkt A należy do prostej podstawy i jest różny od B. Kwadraty długości obu ramion są równe 74.
\[-2\cdot\frac{33}{5}+16=\frac{14}{5},\quad A\ne B,\quad AC^2=\left(\frac{43}{5}\right)^2+\left(-\frac15\right)^2=74=BC^2\]