Zamknięte1 pkt
Dany jest trójkąt prostokątny \(ABC\) o bokach \(|AC|=24\), \(|BC|=10\), \(|AB|=26\). Dwusieczne kątów tego trójkąta przecinają się w punkcie \(P\) (zobacz rysunek).
Odległość \(x\) punktu \(P\) od przeciwprostokątnej \(AB\) jest równa
A
\(2\)
B
\(4\)
C
\(\frac{5}{2}\)
D
\(\frac{13}{3}\)
Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie
1 Pole i półobwód
Przyprostokątne mają długości 10 i 24, więc obliczamy pole trójkąta oraz jego półobwód.
\[S=\frac{10\cdot24}{2}=120,\qquad s=\frac{10+24+26}{2}=30\]
2 Odległość punktu P od boku
Punkt przecięcia dwusiecznych jest środkiem okręgu wpisanego, dlatego jego odległość od każdego boku wynosi x. Pole trójkąta jest równe iloczynowi półobwodu i tej odległości.
\[S=sx,\qquad 120=30x,\qquad x=4\]
Odpowiedź
Odległość wynosi 4. Odpowiedź B.
\[x=4\]
Sprawdzenie
Dla x = 4 wzór na pole daje 120, czyli tyle samo co wzór wykorzystujący przyprostokątne.
\[\frac{10+24+26}{2}\cdot4=120=\frac{10\cdot24}{2}\]