Zamknięte1 pkt
W pewnym trójkącie równoramiennym największy kąt ma miarę \(120^\circ\), a najdłuższy bok ma długość \(12\) (zobacz rysunek).
Najkrótsza wysokość tego trójkąta ma długość równą
A
\(6\)
B
\(2\sqrt{3}\)
C
\(4\sqrt{3}\)
D
\(6\sqrt{3}\)
Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie
1 Wybór wysokości
Pole trójkąta jest równe połowie iloczynu boku i opuszczonej na niego wysokości. Najkrótsza wysokość pada więc na najdłuższy bok, czyli podstawę długości 12.
\[P=\frac12 ah_a,\qquad h_a=\frac{2P}{a}\]
2 Podział trójkąta
W trójkącie równoramiennym wysokość opuszczona z wierzchołka dzieli podstawę i kąt przy wierzchołku na połowy.
\[\frac{12}{2}=6,\qquad \frac{120^\circ}{2}=60^\circ\]
3 Obliczenie wysokości
W powstałym trójkącie prostokątnym korzystamy z tangensa kąta 60°.
\[\tan 60^\circ=\frac{6}{h}=\sqrt{3},\qquad h=\frac{6}{\sqrt{3}}=2\sqrt{3}\]
Odpowiedź
Najkrótsza wysokość ma długość 2√3. Odpowiedź B.
\[h=2\sqrt{3}\quad\text{(B)}\]
Sprawdzenie
Dla otrzymanej wysokości stosunek połowy podstawy do wysokości wynosi √3, czyli tangens kąta 60°. Obie połówki tworzą zatem kąt 120° przy wierzchołku.
\[\frac{6}{2\sqrt{3}}=\sqrt{3}=\tan 60^\circ\]