Arkusz maturalny

Matematyka — matura 2020

Poziom podstawowySierpieńFormuła 2015

Zobacz zadania i rozwiązania 34 zadań z arkusza

ArkuszPobierz PDF KluczPobierz PDF

Zadania z arkusza — rozwiązania krok po kroku

34 zadań · Rozwiń rozwiązanie pod wybranym zadaniem.

Zadanie 1

Matura 2020 · sierpień · F-2015 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Liczby rzeczywiste

Liczba \((\sqrt{5}+2\sqrt{3})^{2}\) jest równa

\(11\)

\(17\)

\(17+4\sqrt{15}\)

\(17+2\sqrt{15}\)

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Zastosowanie wzoru skróconego mnożenia

Korzystamy ze wzoru na kwadrat sumy, aby uwzględnić także podwojony iloczyn składników.

\[(a+b)^2=a^2+2ab+b^2\]

2 Obliczenie składników

Podnosimy oba pierwiastki do kwadratu i upraszczamy ich iloczyn.

\[(\sqrt{5}+2\sqrt{3})^2=5+2\cdot\sqrt{5}\cdot2\sqrt{3}+12=17+4\sqrt{15}\]

Odpowiedź

Odpowiedź C.

\[17+4\sqrt{15}\]

Sprawdzenie

Po rozpisaniu kwadratu sumy składniki kwadratowe dają 5+12=17, a składnik mieszany 4√15, więc wynik odpowiada odpowiedzi C.

\[(\sqrt{5})^2+(2\sqrt{3})^2=17,\qquad 2\cdot\sqrt{5}\cdot2\sqrt{3}=4\sqrt{15}\]

Zadanie 2

Matura 2020 · sierpień · F-2015 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Liczby rzeczywiste

Liczbę \(\sqrt[4]{9\cdot\sqrt{3}}\) można zapisać w postaci

\(3^{\frac{5}{8}}\)

\(3^{\frac{11}{4}}\)

\(3^{\frac{1}{4}}\)

\(3^{\frac{9}{8}}\)

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Zapisanie czynników jako potęg liczby 3

Zamieniamy 9 i pierwiastek z 3 na potęgi o tej samej podstawie, aby dodać wykładniki.

\[9\sqrt{3}=3^2\cdot 3^{\frac12}=3^{\frac52}\]

2 Obliczenie pierwiastka czwartego stopnia

Pierwiastek czwartego stopnia z liczby dodatniej jest jej potęgą o wykładniku \(\frac14\).

\[\sqrt[4]{3^{\frac52}}=\left(3^{\frac52}\right)^{\frac14}=3^{\frac52\cdot\frac14}=3^{\frac58}\]

Odpowiedź

Odpowiedź A.

\[3^{\frac58}\]

Sprawdzenie

Podniesienie otrzymanej liczby do czwartej potęgi daje wyrażenie pod pierwiastkiem; wynik jest dodatni.

\[\left(3^{\frac58}\right)^4=3^{\frac52}=9\sqrt{3}\]

Zadanie 3

Matura 2020 · sierpień · F-2015 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Liczby rzeczywiste

Liczba \(2\log 5+3\log 2\) jest równa

\(\log(2\cdot 5)+\log(3\cdot 2)\)

\(\log 2^{5}+\log 3^{2}\)

\(2\cdot 3\log(5\cdot 2)\)

\(\log(5^{2}\cdot 2^{3})\)

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Zamiana współczynników na wykładniki

Korzystamy z własności \(a\log b=\log b^a\).

\[2\log 5+3\log 2=\log 5^2+\log 2^3\]

2 Połączenie logarytmów

Suma logarytmów dodatnich liczb jest logarytmem ich iloczynu.

\[\log 5^2+\log 2^3=\log(5^2\cdot 2^3)=\log 200\]

Odpowiedź

Odpowiedź D.

\[\log(5^2\cdot 2^3)=\log 200\]

Sprawdzenie

Liczby 5 i 2 są dodatnie, więc logarytmy są określone. Po rozwinięciu odpowiedzi D otrzymujemy wyrażenie z treści zadania.

\[\log(5^2\cdot 2^3)=\log 5^2+\log 2^3=2\log 5+3\log 2\]

Zadanie 4

Matura 2020 · sierpień · F-2015 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Równania i nierówności

Najmniejszą liczbą całkowitą spełniającą nierówność \(\frac{5(4-x)}{2}<x\) jest liczba

\(1\)

\(2\)

\(3\)

\(4\)

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Usuń mianownik

Mnożymy obie strony przez dodatnią liczbę 2, więc znak nierówności się nie zmienia.

\[\frac{5(4-x)}{2}<x\iff 20-5x<2x\]

2 Wyznacz x

Przenosimy wyrazy z x na jedną stronę i dzielimy przez dodatnią liczbę 7.

\[20<7x\iff x>\frac{20}{7}\]

3 Wybierz liczbę całkowitą

Ponieważ 2 jest mniejsze od \(\frac{20}{7}\), a 3 jest większe, najmniejszą liczbą całkowitą spełniającą nierówność jest 3.

\[2<\frac{20}{7}<3\]

Odpowiedź

Odpowiedź C: 3.

\[x=3\]

Sprawdzenie

Dla 3 lewa strona wynosi \(\frac{5}{2}<3\). Liczba 2 nie spełnia nierówności, bo \(5\not<2\); zatem 3 jest najmniejszą odpowiednią liczbą całkowitą.

\[x=3:\ \frac{5(4-3)}{2}=\frac{5}{2}<3;\qquad x=2:\ \frac{5(4-2)}{2}=5\not<2\]

Zadanie 5

Matura 2020 · sierpień · F-2015 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Rachunek prawdopodobieństwa i statystyka

W zestawie 250 liczb występują jedynie liczby 4 i 2. Liczba 4 występuje 128 razy, a liczba 2 występuje 122 razy. Przyjęto przybliżenie średniej arytmetycznej zestawu tych wszystkich liczb do liczby 3. Błąd bezwzględny tego przybliżenia jest równy

0,024

0,24

0,0024

0,00024

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Obliczenie średniej

Każdą liczbę mnożymy przez liczbę jej wystąpień, a sumę dzielimy przez 250.

\[\overline{x}=\frac{128\cdot4+122\cdot2}{250}=\frac{756}{250}=3{,}024\]

2 Obliczenie błędu

Błąd bezwzględny to wartość bezwzględna różnicy między średnią a jej przybliżeniem.

\[\left|3{,}024-3\right|=0{,}024\]

Odpowiedź

Błąd bezwzględny wynosi 0,024. Odpowiedź A.

\[0{,}024\]

Sprawdzenie

Liczności sumują się do 250, a średnia 3,024 różni się od przybliżenia 3 o 0,024.

\[128+122=250,\qquad 3+0{,}024=3{,}024\]

Zadanie 6

Matura 2020 · sierpień · F-2015 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Liczby rzeczywiste

Na początku miesiąca komputer kosztował 3 500 zł. W drugiej dekadzie tego miesiąca cenę komputera obniżono o 10%, a w trzeciej dekadzie cena tego komputera została jeszcze raz obniżona, tym razem o 15%. Innych zmian ceny tego komputera w tym miesiącu już nie było. Cena komputera na koniec miesiąca była równa

3 272,50 zł

2 625 zł

2 677,50 zł

2 800 zł

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Pierwsza obniżka

Po obniżce o 10% komputer kosztuje 90% ceny początkowej.

\[3500\cdot 0{,}90=3150\ \text{zł}\]

2 Druga obniżka

Obniżkę o 15% obliczamy od nowej ceny, czyli 3150 zł. Pozostaje 85% tej kwoty.

\[3150\cdot 0{,}85=2677{,}50\ \text{zł}\]

Odpowiedź

C — 2 677,50 zł

\[2677{,}50\ \text{zł}\]

Sprawdzenie

Po podzieleniu ceny końcowej przez 0,85 otrzymujemy 3150 zł, a po podzieleniu tej kwoty przez 0,90 — cenę początkową 3500 zł.

\[2677{,}50:0{,}85=3150,\qquad 3150:0{,}90=3500\]

Zadanie 7

Matura 2020 · sierpień · F-2015 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Funkcje

Funkcje liniowe \(f\) i \(g\) określone wzorami \(f(x)=-4x+12\) i \(g(x)=-2x+k+3\) mają wspólne miejsce zerowe. Stąd wynika, że

\(k=-6\)

\(k=-3\)

\(k=3\)

\(k=6\)

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Wyznaczenie wspólnego miejsca zerowego

Wspólne miejsce zerowe musi być miejscem zerowym funkcji f, więc rozwiązujemy równanie f(x)=0.

\[-4x+12=0\quad\Rightarrow\quad x=3\]

2 Obliczenie k

Ponieważ także g(3)=0, podstawiamy x=3 do wzoru funkcji g.

\[-2\cdot3+k+3=0\quad\Rightarrow\quad k-3=0\quad\Rightarrow\quad k=3\]

Odpowiedź

k=3, odpowiedź C.

\[k=3\]

Sprawdzenie

Dla x=3 i k=3 obie funkcje mają wartość zero.

\[f(3)=-4\cdot3+12=0,\qquad g(3)=-2\cdot3+3+3=0\]

Zadanie 8

Matura 2020 · sierpień · F-2015 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Funkcje

Zbiorem wartości funkcji kwadratowej \(f\) określonej wzorem \(f(x)=-(x+9)^2+m\) jest przedział \(( -\infty, -5\rangle\). Wtedy

\(m=5\)

\(m=-5\)

\(m=-9\)

\(m=9\)

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Wyznaczenie maksimum

Kwadrat jest nieujemny, więc jego przeciwność jest niedodatnia. Największa wartość funkcji występuje dla \(x=-9\) i wynosi \(m\).

\[(x+9)^2\geq 0\quad\Rightarrow\quad f(x)=-(x+9)^2+m\leq m\]

2 Porównanie ze zbiorem wartości

Największą wartością w podanym przedziale jest \(-5\), zatem \(m=-5\).

\[(-\infty,m]=(-\infty,-5]\quad\Rightarrow\quad m=-5\]

Odpowiedź

Odpowiedź B: \(m=-5\).

\[m=-5\]

Sprawdzenie

Dla \(x=-9\) funkcja przyjmuje wartość \(-5\), a dla każdego \(x\) jest nie większa od \(-5\).

\[f(-9)=-5,\qquad f(x)=-(x+9)^2-5\leq-5\]

Zadanie 9

Matura 2020 · sierpień · F-2015 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Funkcje

Osią symetrii wykresu funkcji kwadratowej \(f\) określonej wzorem \(f(x)=\frac{1}{3}x^2+4x+7\) jest prosta o równaniu

\(x=-6\)

\(y=-6\)

\(x=-2\)

\(y=-2\)

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Obliczenie współrzędnej wierzchołka

Oś symetrii paraboli ma równanie \(x=-\frac{b}{2a}\). Dla danej funkcji \(a=\frac13\) i \(b=4\).

\[x=-\frac{4}{2\cdot\frac13}=-6\]

Odpowiedź

Odpowiedź A: \(x=-6\).

\[x=-6\]

Sprawdzenie

Po zapisaniu funkcji w postaci kanonicznej widać, że oś symetrii przechodzi przez \(x=-6\).

\[f(x)=\frac13(x+6)^2-5\]

Zadanie 10

Matura 2020 · sierpień · F-2015 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Funkcje

Na rysunku poniżej przedstawiono fragment wykresu funkcji kwadratowej \(f\) określonej wzorem \(f(x)=ax^2+bx+c\).

Stąd wynika, że

Fragment paraboli skierowanej ramionami w górę w układzie współrzędnych. Zaznaczony wierzchołek leży na dodatniej półosi x; widoczne są osie z grotami oraz oznaczenia 0, x i y.

\(\begin{cases}a<0\\c<0\end{cases}\)

\(\begin{cases}a<0\\c>0\end{cases}\)

\(\begin{cases}a>0\\c<0\end{cases}\)

\(\begin{cases}a>0\\c>0\end{cases}\)

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Znak współczynnika a

Ramiona paraboli są skierowane w górę, więc współczynnik przy kwadracie jest dodatni.

\[a>0\]

2 Znak wyrazu wolnego c

Wykres przecina oś y powyżej osi x. Wartość funkcji dla x=0 jest równa c, więc c jest dodatnie.

\[c=f(0)>0\]

Odpowiedź

Odpowiedź D.

\[a>0,\quad c>0\]

Sprawdzenie

Wierzchołek leży na dodatniej półosi x. Dla dodatniego a parabola ma poza wierzchołkiem wartości dodatnie, zatem także dla x=0 otrzymujemy c>0.

\[f(0)=c>0\]

Zadanie 11

Matura 2020 · sierpień · F-2015 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Równania i nierówności

Rozwiązaniem równania \(\frac{x^2-3x}{x^2+x}=0\) jest liczba

\(-3\)

\(0\)

\(3\)

\(9\)

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Wyznaczenie dziedziny

Mianownik nie może być równy zeru, więc wykluczamy jego pierwiastki.

\[x^2+x=x(x+1)\neq 0\quad\Longrightarrow\quad x\neq 0,\ x\neq -1\]

2 Wyzerowanie licznika

Ułamek jest równy zeru, gdy jego licznik jest zerem, a mianownik jest różny od zera.

\[x^2-3x=x(x-3)=0\quad\Longrightarrow\quad x=0\ \text{lub}\ x=3\]

3 Uwzględnienie dziedziny

Odrzucamy \(x=0\), ponieważ zeruje mianownik. Pozostaje \(x=3\).

\[x=3\]

Odpowiedź

Rozwiązaniem jest 3, czyli odpowiedź C.

\[x=3\]

Sprawdzenie

Dla \(x=3\) licznik wynosi 0, a mianownik 12, więc równanie jest spełnione.

\[\frac{3^2-3\cdot 3}{3^2+3}=\frac{0}{12}=0\]

Zadanie 12

Matura 2020 · sierpień · F-2015 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Geometria analityczna na płaszczyźnie kartezjańskiej

Do okręgu o środku w punkcie \(S=(2,4)\) należy punkt \(P=(1,3)\). Długość tego okręgu jest równa

\(4\pi\sqrt{2}\)

\(3\pi\sqrt{2}\)

\(2\pi\sqrt{2}\)

\(\pi\sqrt{2}\)

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Obliczenie promienia

Punkt P leży na okręgu, więc odległość punktów S i P jest jego promieniem.

\[r=|SP|=\sqrt{(2-1)^2+(4-3)^2}=\sqrt{2}\]

2 Obliczenie długości okręgu

Korzystamy ze wzoru na długość okręgu o promieniu r.

\[L=2\pi r=2\pi\sqrt{2}\]

Odpowiedź

Długość okręgu wynosi \(2\pi\sqrt{2}\). Odpowiedź C.

\[L=2\pi\sqrt{2}\]

Sprawdzenie

Kwadrat odległości punktu P od środka wynosi \(1^2+1^2=2\), zatem promień to \(\sqrt{2}\). Podstawienie do wzoru \(L=2\pi r\) daje podany wynik.

\[(2-1)^2+(4-3)^2=2,\qquad 2\pi\cdot\sqrt{2}=2\pi\sqrt{2}\]

Zadanie 13

Matura 2020 · sierpień · F-2015 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Geometria analityczna na płaszczyźnie kartezjańskiej

Prosta \(l\) jest równoległa do prostej \(y=-\frac{1}{2}x+2\). Na prostej \(l\) leży punkt \(P=(0,7)\). Zatem równanie prostej \(l\) ma postać

\(y=2x\)

\(y=2x+7\)

\(y=-\frac{1}{2}x\)

\(y=-\frac{1}{2}x+7\)

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Ustal współczynnik kierunkowy

Proste równoległe mają ten sam współczynnik kierunkowy, więc prosta \(l\) ma postać:

\[y=-\frac{1}{2}x+b\]

2 Wyznacz wyraz wolny

Punkt \(P=(0,7)\) leży na prostej, dlatego jego współrzędne spełniają równanie.

\[7=-\frac{1}{2}\cdot 0+b\quad\Rightarrow\quad b=7\]

Odpowiedź

Równanie prostej to \(y=-\frac{1}{2}x+7\). Odpowiedź D.

\[y=-\frac{1}{2}x+7\]

Sprawdzenie

Dla \(x=0\) otrzymujemy \(y=7\), więc punkt \(P\) leży na prostej. Jej współczynnik kierunkowy wynosi \(-\frac{1}{2}\), tak jak współczynnik danej prostej.

\[-\frac{1}{2}\cdot 0+7=7\]

Zadanie 14

Matura 2020 · sierpień · F-2015 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Geometria analityczna na płaszczyźnie kartezjańskiej

Punkt \(S=(4,8)\) jest środkiem odcinka \(PQ\), którego koniec \(P\) leży na osi \(Oy\), a koniec \(Q\) – na osi \(Ox\). Wynika stąd, że

\(P=(0,16)\) i \(Q=(8,0)\)

\(P=(0,8)\) i \(Q=(16,0)\)

\(P=(0,4)\) i \(Q=(4,0)\)

\(P=(0,8)\) i \(Q=(8,0)\)

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Zapisanie współrzędnych końców

Punkt na osi \(Oy\) ma pierwszą współrzędną równą zero, a punkt na osi \(Ox\) ma drugą współrzędną równą zero.

\[P=(0,p),\quad Q=(q,0)\]

2 Zastosowanie wzoru na środek odcinka

Współrzędne środka są średnimi odpowiednich współrzędnych końców, więc przyrównujemy je do współrzędnych punktu \(S\).

\[\left(\frac{q}{2},\frac{p}{2}\right)=(4,8)\quad\Longrightarrow\quad q=8,\ p=16\]

Odpowiedź

P = (0,16) i Q = (8,0). Odpowiedź A.

\[P=(0,16),\quad Q=(8,0)\]

Sprawdzenie

Środek otrzymanego odcinka ma współrzędne (4,8), a jego końce leżą na wskazanych osiach.

\[\left(\frac{0+8}{2},\frac{16+0}{2}\right)=(4,8)\]

Zadanie 15

Matura 2020 · sierpień · F-2015 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Planimetria

Przyprostokątna \(AC\) trójkąta prostokątnego \(ABC\) ma długość \(6\), a wysokość \(CD\) dzieli go na dwa takie trójkąty \(ADC\) i \(CDB\), że pole trójkąta \(ADC\) jest \(4\) razy większe od pola trójkąta \(CDB\) (zobacz rysunek).

Przyprostokątna \(BC\) trójkąta prostokątnego \(ABC\) jest równa

Trójkąt prostokątny ABC z wysokością CD poprowadzoną z wierzchołka C na przeciwprostokątną AB. Przy boku AC oznaczono długość 6.

\(1{,}5\)

\(2\)

\(2{,}5\)

\(3\)

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Porównanie pól

Trójkąty ADC i CDB mają podstawy AD i DB leżące na tej samej prostej oraz wspólną wysokość CD. Stosunek ich pól jest więc równy stosunkowi podstaw.

\[\frac{P_{ADC}}{P_{CDB}}=\frac{AD}{DB}=4\]

2 Obliczenie przyprostokątnej

Z twierdzenia o przyprostokątnej wynika, że kwadraty AC i BC są proporcjonalne do ich rzutów na przeciwprostokątną, czyli odpowiednio AD i DB.

\[\frac{AC^2}{BC^2}=\frac{AD}{DB}=4,\qquad \frac{6^2}{BC^2}=4,\qquad BC^2=9,\qquad BC=3\]

Odpowiedź

Przyprostokątna BC ma długość 3. Odpowiedź D.

\[BC=3\]

Sprawdzenie

Dla AC = 6 i BC = 3 stosunek kwadratów przyprostokątnych wynosi 36 : 9 = 4 : 1, zatem AD : DB = 4 : 1. Trójkąty o wspólnej wysokości CD mają taki sam stosunek pól, zgodny z treścią zadania.

\[AC^2:BC^2=36:9=4:1=AD:DB=P_{ADC}:P_{CDB}\]

Zadanie 16

Matura 2020 · sierpień · F-2015 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Geometria analityczna na płaszczyźnie kartezjańskiej

Punkty \(P=(-3,4)\) i \(O=(0,0)\) leżą na jednej prostej. Kąt \(\alpha\) jest kątem nachylenia tej prostej do osi \(Ox\) (zobacz rysunek).

Wtedy tangens kąta \(\alpha\) jest równy

Układ współrzędnych z prostą przechodzącą przez punkty P=(-3,4) i O=(0,0) oraz zaznaczonym kątem α nachylenia prostej do osi Ox.

\(-\frac{3}{4}\)

\(-\frac{4}{3}\)

\(\frac{4}{3}\)

\(\frac{3}{4}\)

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Obliczenie współczynnika kierunkowego

Tangens kąta nachylenia prostej do osi Ox jest równy jej współczynnikowi kierunkowemu. Obliczamy go z współrzędnych dwóch punktów prostej.

\[\tan\alpha=\frac{y_P-y_O}{x_P-x_O}=\frac{4-0}{-3-0}=-\frac{4}{3}\]

Odpowiedź

Tangens kąta α wynosi −4/3. Odpowiedź B.

\[\tan\alpha=-\frac{4}{3}\]

Sprawdzenie

Na rysunku prosta opada w prawo, więc jej współczynnik kierunkowy i tangens kąta nachylenia są ujemne. Od punktu P do O przesunięcie wynosi 3 w prawo i 4 w dół, co daje −4/3.

\[\frac{\Delta y}{\Delta x}=\frac{0-4}{0-(-3)}=-\frac{4}{3}\]

Zadanie 17

Matura 2020 · sierpień · F-2015 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Trygonometria

Kąt \(\alpha\) jest ostry oraz \(\sin\alpha=\frac{2\sqrt{5}}{5}\). Wtedy

\(\cos\alpha=\frac{5}{2\sqrt{5}}\)

\(\cos\alpha=\frac{\sqrt{5}}{5}\)

\(\cos\alpha=\frac{1}{5}\)

\(\cos\alpha=\frac{4}{5}\)

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Obliczenie kwadratu cosinusa

Korzystamy z jedynki trygonometrycznej, aby wyznaczyć cosinus z podanej wartości sinusa.

\[\cos^2\alpha=1-\sin^2\alpha=1-\left(\frac{2\sqrt{5}}{5}\right)^2=1-\frac45=\frac15\]

2 Wybór znaku

Kąt ostry ma dodatni cosinus, więc wybieramy dodatni pierwiastek.

\[\cos\alpha=\sqrt{\frac15}=\frac{\sqrt5}{5}\]

Odpowiedź

Odpowiedź B.

\[\cos\alpha=\frac{\sqrt5}{5}\]

Sprawdzenie

Kwadraty otrzymanego cosinusa i podanego sinusa sumują się do 1, a cosinus jest dodatni, zgodnie z warunkiem, że kąt jest ostry.

\[\left(\frac{2\sqrt5}{5}\right)^2+\left(\frac{\sqrt5}{5}\right)^2=\frac45+\frac15=1\]

Zadanie 18

Matura 2020 · sierpień · F-2015 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Ciągi

W ciągu arytmetycznym \((a_n)\), określonym dla każdej liczby naturalnej \(n\geq 1\), są dane dwa wyrazy: \(a_1=2\) i \(a_2=5\). Stąd wynika, że \(n\)-ty wyraz tego ciągu jest określony wzorem

\(a_n=3n-1\)

\(a_n=3n+2\)

\(a_n=2n+3\)

\(a_n=2n-1\)

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Obliczenie różnicy

Różnica ciągu arytmetycznego to różnica kolejnych wyrazów.

\[r=a_2-a_1=5-2=3\]

2 Wyznaczenie wzoru

Podstawiamy pierwszy wyraz i różnicę do wzoru na n-ty wyraz ciągu arytmetycznego.

\[a_n=a_1+(n-1)r=2+3(n-1)=3n-1\]

Odpowiedź

Odpowiedź A.

\[a_n=3n-1\]

Sprawdzenie

Dla n=1 wzór daje 2, a dla n=2 daje 5, zgodnie z danymi.

\[a_1=3\cdot1-1=2,\qquad a_2=3\cdot2-1=5\]

Zadanie 19

Matura 2020 · sierpień · F-2015 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Funkcje

Funkcja \(f\) jest określona wzorem \(f(x)=\left(\frac{1}{2}\right)^x\) dla wszystkich liczb rzeczywistych \(x\). Funkcja \(f\) dla argumentu \(x=-3\) przyjmuje wartość

\(\frac{1}{6}\)

\(\frac{1}{8}\)

\(6\)

\(8\)

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Podstawienie argumentu

Wstawiamy \(-3\) w miejsce \(x\).

\[f(-3)=\left(\frac{1}{2}\right)^{-3}\]

2 Obliczenie potęgi

Ujemny wykładnik oznacza odwrotność potęgi o wykładniku dodatnim.

\[\left(\frac{1}{2}\right)^{-3}=\left(\frac{2}{1}\right)^3=8\]

Odpowiedź

Funkcja przyjmuje wartość 8. Odpowiedź D.

\[f(-3)=8\]

Sprawdzenie

Kontrola: iloczyn wartości dla przeciwnych wykładników wynosi 1.

\[f(-3)\cdot f(3)=8\cdot\frac{1}{8}=1\]

Zadanie 20

Matura 2020 · sierpień · F-2015 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Funkcje

Wielkości \(x\) i \(y\) są odwrotnie proporcjonalne (tabela poniżej).

\(x\)	\(a\)	\(3\)	\(8\)
\(y\)	\(36\)	\(24\)	\(b\)

Stąd wynika, że

\(a=6,\ b=22{,}5\)

\(a=\frac{4}{3},\ b=6\)

\(a=3,\ b=96\)

\(a=2,\ b=9\)

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Wyznaczenie stałego iloczynu

Dla wielkości odwrotnie proporcjonalnych iloczyn odpowiadających sobie wartości jest stały. Korzystamy ze znanej pary z tabeli.

\[xy=3\cdot24=72\]

2 Obliczenie niewiadomych

Każdą brakującą wartość wyznaczamy z warunku, że iloczyn w jej kolumnie wynosi 72.

\[36a=72\Rightarrow a=2,\qquad 8b=72\Rightarrow b=9\]

Odpowiedź

Odpowiedź D: a = 2, b = 9.

\[a=2,\quad b=9\]

Sprawdzenie

W każdej kolumnie iloczyn x i y jest równy 72.

\[2\cdot36=3\cdot24=8\cdot9=72\]

Zadanie 21

Matura 2020 · sierpień · F-2015 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Geometria analityczna na płaszczyźnie kartezjańskiej

W prostokątnym układzie współrzędnych na płaszczyźnie parę prostych prostopadłych opisują równania

\(y=2x\) i \(y=-\frac{1}{2}\)

\(y=-2x\) i \(y=\frac{1}{2}x\)

\(y=2x\) i \(y=\frac{1}{2}x\)

\(y=2\) i \(y=-2x\)

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Warunek prostopadłości

Dwie proste o współczynnikach kierunkowych różnych od zera są prostopadłe, gdy iloczyn tych współczynników wynosi \(-1\).

\[a_1a_2=-1\]

2 Sprawdzenie odpowiedzi B

Współczynniki kierunkowe podanych prostych to \(-2\) oraz \(\frac{1}{2}\). Ich iloczyn spełnia warunek prostopadłości.

\[(-2)\cdot\frac{1}{2}=-1\]

Odpowiedź

B — proste \(y=-2x\) i \(y=\frac{1}{2}x\).

\[y=-2x\quad\text{i}\quad y=\frac{1}{2}x\]

Sprawdzenie

W odpowiedzi C iloczyn współczynników wynosi \(1\). W odpowiedziach A i D jedna prosta jest pozioma, a druga nie jest pionowa. Żadna z tych par nie jest prostopadła.

\[2\cdot\frac{1}{2}=1\ne-1\]

Zadanie 22

Matura 2020 · sierpień · F-2015 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Geometria analityczna na płaszczyźnie kartezjańskiej

Dane są punkty \(A=(4,1)\), \(B=(1,3)\), \(C=(4,-1)\). Pole trójkąta \(ABC\) jest równe

\(3\)

\(6\)

\(8\)

\(16\)

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Wybór podstawy

Punkty A i C mają tę samą pierwszą współrzędną, więc odcinek AC jest pionowy, a jego długość wynosi 2.

\[|AC|=|1-(-1)|=2\]

2 Obliczenie wysokości i pola

Wysokość opuszczona z punktu B to jego odległość od prostej x=4, czyli 3. Stosujemy wzór na pole trójkąta.

\[h=|4-1|=3,\qquad P=\frac{1}{2}\cdot 2\cdot 3=3\]

Odpowiedź

Pole trójkąta wynosi 3. Odpowiedź A.

\[P=3\]

Sprawdzenie

Odcinek AC ma długość 2, a punkt B leży 3 jednostki od prostej zawierającej AC. Połowa pola prostokąta o tych bokach wynosi 3, zgodnie z obliczeniem.

\[\frac{2\cdot 3}{2}=3\]

Zadanie 23

Matura 2020 · sierpień · F-2015 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Kombinatoryka

Ile jest wszystkich liczb naturalnych czterocyfrowych mniejszych od 2020 i podzielnych przez 4?

\(506\)

\(505\)

\(256\)

\(255\)

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Wyznaczenie zakresu

Najmniejszą liczbą czterocyfrową jest 1000, a największą mniejszą od 2020 i podzielną przez 4 jest 2016.

\[1000\le n<2020,\qquad 2016=4\cdot504\]

2 Policzenie liczb

Kolejne liczby podzielne przez 4 różnią się o 4. Dzielimy różnicę między skrajnymi liczbami przez 4 i doliczamy pierwszy wyraz.

\[\frac{2016-1000}{4}+1=255\]

Odpowiedź

Takich liczb jest 255. Odpowiedź D.

\[255\]

Sprawdzenie

Liczba 2016 jest ostatnią uwzględnioną: następna, 2020, nie spełnia warunku „mniejsza od 2020”. Licząc 255 liczb od 1000 co 4, otrzymujemy na końcu 2016.

\[1000+(255-1)\cdot4=2016,\qquad 2016+4=2020\]

Zadanie 24

Matura 2020 · sierpień · F-2015 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Stereometria

Dane są graniastosłup i ostrosłup o takich samych podstawach. Liczba wszystkich wierzchołków tego graniastosłupa jest o 9 większa od liczby wszystkich wierzchołków tego ostrosłupa. Podstawą każdej z tych brył jest

dziewięciokąt.

ośmiokąt.

osiemnastokąt.

dziesięciokąt.

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Policz wierzchołki brył

Jeśli podstawa jest n-kątem, graniastosłup ma dwie takie podstawy, a ostrosłup ma jedną podstawę i wierzchołek poza nią.

\[W_g=2n,\qquad W_o=n+1\]

2 Wyznacz liczbę boków podstawy

Różnica liczby wierzchołków wynosi 9, więc układamy i rozwiązujemy równanie.

\[2n-(n+1)=9\quad\Longrightarrow\quad n-1=9\quad\Longrightarrow\quad n=10\]

Odpowiedź

Podstawą jest dziesięciokąt — odpowiedź D.

\[n=10\]

Sprawdzenie

Graniastosłup ma 20 wierzchołków, a ostrosłup 11; ich różnica rzeczywiście wynosi 9.

\[20-11=9\]

Zadanie 25

Matura 2020 · sierpień · F-2015 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Stereometria

Pole powierzchni całkowitej sześcianu jest równe 12. Suma długości wszystkich krawędzi tego sześcianu jest równa

\(6\sqrt{2}\)

\(3\sqrt{2}\)

\(12\sqrt{2}\)

\(8\sqrt{2}\)

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Obliczenie długości krawędzi

Sześcian ma sześć kwadratowych ścian, więc jego pole całkowite wynosi \(6a^2\). Długość krawędzi jest dodatnia.

\[6a^2=12\quad\Rightarrow\quad a^2=2\quad\Rightarrow\quad a=\sqrt{2}\]

2 Suma długości krawędzi

Sześcian ma 12 krawędzi jednakowej długości, więc mnożymy długość jednej krawędzi przez 12.

\[12a=12\sqrt{2}\]

Odpowiedź

Suma długości krawędzi wynosi \(12\sqrt{2}\). Odpowiedź C.

\[12\sqrt{2}\]

Sprawdzenie

Dla krawędzi długości \(\sqrt{2}\) pole całkowite wynosi 12, zgodnie z treścią zadania.

\[6\left(\sqrt{2}\right)^2=6\cdot2=12\]

Zadanie 26

Matura 2020 · sierpień · F-2015 · poziom podstawowy

Otwarte2 pkt

Równania i nierówności

Rozwiąż nierówność: \(-2x^{2}+5x+3\leq 0\).

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Rozkład na czynniki

Rozkładamy trójmian, aby wyznaczyć jego miejsca zerowe i znak.

\[-2x^{2}+5x+3=-(2x+1)(x-3)\]

2 Wyznaczenie rozwiązania

Iloczyn dwóch czynników jest nieujemny, gdy oba mają ten sam znak. Po pomnożeniu nierówności przez \(-1\) zmieniamy jej zwrot.

\[-(2x+1)(x-3)\leq 0\iff(2x+1)(x-3)\geq 0\iff x\leq-\frac12\ \text{lub}\ x\geq 3\]

Odpowiedź

Zbiorem rozwiązań jest suma dwóch przedziałów.

\[x\in\left(-\infty,-\frac12\right]\cup[3,\infty)\]

Sprawdzenie

Dla \(x=0\), leżącego między miejscami zerowymi, lewa strona wynosi \(3>0\). Poza nimi, dla \(x=-1\) i \(x=4\), wynosi odpowiednio \(-4\) i \(-9\). W punktach \(-\frac12\) oraz \(3\) wynosi \(0\), więc oba końce należą do rozwiązania.

\[f(-1)=-4\leq0,\quad f(0)=3>0,\quad f(4)=-9\leq0,\quad f\!\left(-\frac12\right)=f(3)=0\]

Zadanie 27

Matura 2020 · sierpień · F-2015 · poziom podstawowy

Otwarte2 pkt

Ciągi

Dany jest trzywyrazowy ciąg \((x+2,\ 4x+2,\ x+11)\). Oblicz wszystkie wartości \(x\), dla których ten ciąg jest geometryczny.

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Warunek ciągu geometrycznego

Ponieważ pierwszy wyraz musi być różny od zera, przyjmujemy \(x\neq-2\). Wtedy ciąg jest geometryczny, gdy kwadrat środkowego wyrazu jest iloczynem skrajnych.

\[(4x+2)^2=(x+2)(x+11)\]

2 Rozwiązanie równania

Rozwijamy nawiasy i rozkładamy otrzymany trójmian na czynniki.

\[16x^2+16x+4=x^2+13x+22\;\Longleftrightarrow\;3(5x+6)(x-1)=0\;\Longleftrightarrow\;x=-\frac65\;\text{ lub }\;x=1\]

Odpowiedź

Obie wartości spełniają warunek \(x\neq-2\). Zatem \(x=1\) lub \(x=-\frac65\).

\[x\in\left\{1,-\frac65\right\}\]

Sprawdzenie

Dla \(x=1\) wyrazy to \((3,6,12)\), a iloraz wynosi \(2\). Dla \(x=-\frac65\) wyrazy to \(\left(\frac45,-\frac{14}5,\frac{49}5\right)\), a iloraz wynosi \(-\frac72\). Oba ciągi są geometryczne.

\[\frac63=\frac{12}6=2,\qquad\frac{-14/5}{4/5}=\frac{49/5}{-14/5}=-\frac72\]

Zadanie 28

Matura 2020 · sierpień · F-2015 · poziom podstawowy

Otwarte2 pkt

Wyrażenia algebraiczne

Wykaż, że dla dowolnych różnych liczb rzeczywistych \(a\) i \(b\) prawdziwa jest nierówność

\(a(a+b)+b^{2}>3ab\).

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Przenieś wyrazy na jedną stronę

Aby zbadać nierówność, obliczamy różnicę jej lewej i prawej strony.

\[a(a+b)+b^{2}-3ab=a^{2}-2ab+b^{2}=(a-b)^{2}\]

2 Wykorzystaj warunek różności liczb

Ponieważ \(a\neq b\), ich różnica jest niezerowa, więc jej kwadrat jest dodatni.

\[a\neq b\quad\Longrightarrow\quad(a-b)^{2}>0\]

Odpowiedź

Nierówność jest prawdziwa dla każdych różnych liczb rzeczywistych \(a\) i \(b\).

\[a(a+b)+b^{2}>3ab\]

Sprawdzenie

Różnica stron wynosi dokładnie \((a-b)^{2}\). Przy założeniu \(a\neq b\) jest ona ściśle dodatnia, co potwierdza nierówność.

\[a(a+b)+b^{2}-3ab=(a-b)^{2}>0\]

Zadanie 29

Matura 2020 · sierpień · F-2015 · poziom podstawowy

Otwarte2 pkt

Planimetria

Dwa okręgi o promieniach \(r=2\) i \(R=6\) są styczne zewnętrznie i są styczne do wspólnej prostej \(k\). Wykaż, że prosta \(l\) przechodząca przez środki \(S\) i \(P\) tych okręgów przecina prostą \(k\) pod kątem \(\alpha=30^\circ\) (zobacz rysunek).

Dwa okręgi styczne zewnętrznie i styczne do prostej k; prosta l przechodzi przez ich środki S i P, a między prostymi zaznaczono kąt α.

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Odległość środków

Okręgi są styczne zewnętrznie, więc odległość ich środków jest sumą promieni.

\[SP=r+R=2+6=8\]

2 Różnica odległości od prostej

Promienie poprowadzone do punktów styczności są prostopadłe do prostej k. Środki leżą po tej samej jej stronie, więc ich odległości od k różnią się o 4.

\[R-r=6-2=4\]

3 Obliczenie kąta

Po poprowadzeniu przez S prostej równoległej do k otrzymujemy trójkąt prostokątny o przeciwprostokątnej SP=8 i przyprostokątnej naprzeciw kąta α równej 4.

\[\sin\alpha=\frac{R-r}{SP}=\frac{4}{8}=\frac12\]

4 Wybór wartości kąta

Na rysunku α jest kątem ostrym. Jedyny kąt ostry, którego sinus wynosi jedna druga, ma 30°.

\[\alpha=30^\circ\]

Odpowiedź

Prosta l przecina prostą k pod kątem 30°.

\[\boxed{\alpha=30^\circ}\]

Sprawdzenie

Dla kąta 30° składowa odcinka SP prostopadła do k wynosi 4, czyli dokładnie tyle, ile wynosi różnica promieni.

\[SP\sin30^\circ=8\cdot\frac12=4=R-r\]

Zadanie 30

Matura 2020 · sierpień · F-2015 · poziom podstawowy

Otwarte2 pkt

Równania i nierówności

Rozwiąż równanie \((x^{3}+8)(x^{2}-9)=0\).

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Zastosowanie zasady iloczynu zerowego

Iloczyn jest równy zeru, gdy co najmniej jeden z jego czynników jest równy zeru.

\[x^{3}+8=0\quad\text{lub}\quad x^{2}-9=0\]

2 Rozwiązanie równań

W pierwszym równaniu wyznaczamy pierwiastek sześcienny, a w drugim korzystamy z różnicy kwadratów.

\[x^{3}=-8\Rightarrow x=-2,\qquad x^{2}-9=(x-3)(x+3)=0\Rightarrow x=3\ \text{lub}\ x=-3\]

Odpowiedź

Zbiorem rozwiązań jest \(\{-3,-2,3\}\).

\[x\in\{-3,-2,3\}\]

Sprawdzenie

Dla \(x=-2\) pierwszy czynnik wynosi zero. Dla \(x=-3\) i \(x=3\) drugi czynnik wynosi zero. Każda z tych liczb spełnia więc równanie; innych rozwiązań nie ma, ponieważ każdy czynnik został rozwiązany.

\[(-2)^3+8=0,\qquad (-3)^2-9=0,\qquad 3^2-9=0\]

Zadanie 31

Matura 2020 · sierpień · F-2015 · poziom podstawowy

Otwarte2 pkt

Rachunek prawdopodobieństwa i statystyka

W pudełku jest 8 kul, z czego 5 białych i 3 czarne. Do tego pudełka dołożono \(n\) kul białych. Doświadczenie polega na losowaniu jednej kuli z tego pudełka. Prawdopodobieństwo, że będzie to kula biała, jest równe \(\frac{11}{12}\). Oblicz \(n\).

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Ułożenie równania

Po dołożeniu kul w pudełku jest \(5+n\) kul białych i \(8+n\) kul łącznie, więc stosujemy definicję prawdopodobieństwa.

\[\frac{5+n}{8+n}=\frac{11}{12},\quad n\in\mathbb{Z}_{\ge 0}\]

2 Obliczenie liczby kul

Mnożymy obie strony przez \(12(8+n)\), a następnie rozwiązujemy równanie.

\[12(5+n)=11(8+n)\quad\Longrightarrow\quad 60+12n=88+11n\quad\Longrightarrow\quad n=28\]

Odpowiedź

Dołożono 28 białych kul.

\[n=28\]

Sprawdzenie

Liczba 28 jest nieujemną liczbą całkowitą. Po dołożeniu kul białych jest 33, a wszystkich kul 36; otrzymane prawdopodobieństwo zgadza się z podanym.

\[\frac{5+28}{8+28}=\frac{33}{36}=\frac{11}{12}\]

Zadanie 32

Matura 2020 · sierpień · F-2015 · poziom podstawowy

Otwarte4 pkt

Trygonometria

Dany jest trójkąt równoramienny \(ABC\), w którym podstawa \(AB\) ma długość 12, a każde z ramion \(AC\) i \(BC\) ma długość równą 10. Punkt \(D\) jest środkiem ramienia \(BC\) (zobacz rysunek).

Oblicz sinus kąta \(\alpha\), jaki środkowa \(AD\) tworzy z ramieniem \(AC\) trójkąta \(ABC\).

Trójkąt ABC z podstawą AB oznaczoną 12 i ramionami oznaczonymi 10. Punkt D leży na ramieniu BC. Odcinek AD tworzy z AC kąt α.

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Wyznaczenie wysokości

W trójkącie równoramiennym wysokość opuszczona z C dzieli podstawę na odcinki długości 6. Z twierdzenia Pitagorasa obliczamy jej długość.

\[h=\sqrt{10^2-6^2}=8\]

2 Obliczenie długości środkowej

Przyjmujemy A=(0,0), B=(12,0) i C=(6,8). Ponieważ D jest środkiem BC, ma współrzędne (9,4).

\[D=\left(\frac{12+6}{2},\frac{0+8}{2}\right)=(9,4),\qquad AD=\sqrt{9^2+4^2}=\sqrt{97}\]

3 Obliczenie sinusa kąta

Odcinki BD i CD są równe, więc trójkąt ACD ma połowę pola ABC. Korzystamy też ze wzoru na pole z dwóch boków i sinusa kąta między nimi.

\[P_{ACD}=\frac12\cdot\frac{12\cdot8}{2}=24,\qquad 24=\frac12\cdot10\cdot\sqrt{97}\cdot\sin\alpha,\qquad \sin\alpha=\frac{24}{5\sqrt{97}}\]

Odpowiedź

Sinus kąta α wynosi \(\frac{24}{5\sqrt{97}}\).

\[\sin\alpha=\frac{24}{5\sqrt{97}}\]

Sprawdzenie

Podstawienie wyniku do wzoru na pole daje 24, czyli połowę pola trójkąta ABC. Ponadto otrzymany sinus jest mniejszy od 1.

\[\frac12\cdot10\cdot\sqrt{97}\cdot\frac{24}{5\sqrt{97}}=24,\qquad \frac{24^2}{25\cdot97}=\frac{576}{2425}<1\]

Zadanie 33

Matura 2020 · sierpień · F-2015 · poziom podstawowy

Otwarte4 pkt

Stereometria

Pole powierzchni bocznej stożka jest trzy razy większe od pola jego podstawy. Wysokość tego stożka jest równa 12. Oblicz objętość tego stożka.

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Wyznaczenie tworzącej

Pole boczne stożka wynosi \(\pi r l\), a pole podstawy \(\pi r^2\). Z podanej zależności i warunku \(r>0\) otrzymujemy długość tworzącej.

\[\pi r l=3\pi r^2\quad\Rightarrow\quad l=3r\]

2 Obliczenie promienia

Promień, wysokość i tworząca tworzą trójkąt prostokątny, więc stosujemy twierdzenie Pitagorasa.

\[l^2=r^2+h^2\quad\Rightarrow\quad (3r)^2=r^2+12^2\quad\Rightarrow\quad 8r^2=144\quad\Rightarrow\quad r^2=18\]

3 Obliczenie objętości

Podstawiamy pole podstawy i wysokość do wzoru na objętość stożka.

\[V=\frac{1}{3}\pi r^2h=\frac{1}{3}\pi\cdot18\cdot12=72\pi\]

Odpowiedź

Objętość stożka wynosi \(72\pi\) jednostek sześciennych.

\[V=72\pi\]

Sprawdzenie

Dla dodatniego promienia \(r=3\sqrt{2}\) tworząca wynosi \(l=9\sqrt{2}\), zatem stosunek pola bocznego do pola podstawy jest równy 3. Z twierdzenia Pitagorasa wysokość wynosi 12.

\[\frac{\pi r l}{\pi r^2}=\frac{l}{r}=3,\qquad \sqrt{l^2-r^2}=\sqrt{162-18}=12\]

Zadanie 34

Matura 2020 · sierpień · F-2015 · poziom podstawowy

Otwarte5 pkt

Geometria analityczna na płaszczyźnie kartezjańskiej

Prosta o równaniu \(y=-2x+7\) jest symetralną odcinka \(PQ\), gdzie \(P=(4,5)\). Oblicz współrzędne punktu \(Q\).

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Warunek prostopadłości

Symetralna jest prostopadła do odcinka \(PQ\). Prosta o współczynniku kierunkowym \(-2\) jest prostopadła do prostej o współczynniku \(\frac12\). Dla \(Q=(a,b)\) otrzymujemy:

\[b-5=\frac12(a-4),\quad b=\frac12a+3.\]

2 Warunek środka odcinka

Środek odcinka \(PQ\) leży na symetralnej, więc jego współrzędne spełniają równanie danej prostej.

\[\frac{5+b}{2}=-2\cdot\frac{4+a}{2}+7,\quad b=1-2a.\]

3 Wyznaczenie punktu

Porównujemy otrzymane wyrażenia na \(b\), a następnie obliczamy drugą współrzędną.

\[\frac12a+3=1-2a\quad\Longrightarrow\quad a=-\frac45,\qquad b=1-2\left(-\frac45\right)=\frac{13}{5}.\]

Odpowiedź

Punkt Q ma współrzędne \(\left(-\frac45,\frac{13}{5}\right)\).

\[Q=\left(-\frac45,\frac{13}{5}\right)\]

Sprawdzenie

Środek odcinka leży na podanej prostej. Współczynnik kierunkowy odcinka wynosi \(\frac12\), a iloczyn współczynników prostych wynosi \(-1\), więc proste są prostopadłe.

\[S=\left(\frac85,\frac{19}{5}\right),\quad -2\cdot\frac85+7=\frac{19}{5},\qquad \frac{\frac{13}{5}-5}{-\frac45-4}=\frac12,\quad (-2)\cdot\frac12=-1.\]