Zadanie 15 — matura 2020, sierpień | Matematyka podstawowa, F-2015

Matura 2020 · sierpień · F-2015 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Przyprostokątna \(AC\) trójkąta prostokątnego \(ABC\) ma długość \(6\), a wysokość \(CD\) dzieli go na dwa takie trójkąty \(ADC\) i \(CDB\), że pole trójkąta \(ADC\) jest \(4\) razy większe od pola trójkąta \(CDB\) (zobacz rysunek).

Przyprostokątna \(BC\) trójkąta prostokątnego \(ABC\) jest równa

Trójkąt prostokątny ABC z wysokością CD poprowadzoną z wierzchołka C na przeciwprostokątną AB. Przy boku AC oznaczono długość 6.

\(1{,}5\)

\(2\)

\(2{,}5\)

\(3\)

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Porównanie pól

Trójkąty ADC i CDB mają podstawy AD i DB leżące na tej samej prostej oraz wspólną wysokość CD. Stosunek ich pól jest więc równy stosunkowi podstaw.

\[\frac{P_{ADC}}{P_{CDB}}=\frac{AD}{DB}=4\]

2 Obliczenie przyprostokątnej

Z twierdzenia o przyprostokątnej wynika, że kwadraty AC i BC są proporcjonalne do ich rzutów na przeciwprostokątną, czyli odpowiednio AD i DB.

\[\frac{AC^2}{BC^2}=\frac{AD}{DB}=4,\qquad \frac{6^2}{BC^2}=4,\qquad BC^2=9,\qquad BC=3\]

Odpowiedź

Przyprostokątna BC ma długość 3. Odpowiedź D.

\[BC=3\]

Sprawdzenie

Dla AC = 6 i BC = 3 stosunek kwadratów przyprostokątnych wynosi 36 : 9 = 4 : 1, zatem AD : DB = 4 : 1. Trójkąty o wspólnej wysokości CD mają taki sam stosunek pól, zgodny z treścią zadania.

\[AC^2:BC^2=36:9=4:1=AD:DB=P_{ADC}:P_{CDB}\]