Otwarte2 pkt
Rozwiąż nierówność: \(-2x^{2}+5x+3\leq 0\).
Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie
1 Rozkład na czynniki
Rozkładamy trójmian, aby wyznaczyć jego miejsca zerowe i znak.
\[-2x^{2}+5x+3=-(2x+1)(x-3)\]
2 Wyznaczenie rozwiązania
Iloczyn dwóch czynników jest nieujemny, gdy oba mają ten sam znak. Po pomnożeniu nierówności przez \(-1\) zmieniamy jej zwrot.
\[-(2x+1)(x-3)\leq 0\iff(2x+1)(x-3)\geq 0\iff x\leq-\frac12\ \text{lub}\ x\geq 3\]
Odpowiedź
Zbiorem rozwiązań jest suma dwóch przedziałów.
\[x\in\left(-\infty,-\frac12\right]\cup[3,\infty)\]
Sprawdzenie
Dla \(x=0\), leżącego między miejscami zerowymi, lewa strona wynosi \(3>0\). Poza nimi, dla \(x=-1\) i \(x=4\), wynosi odpowiednio \(-4\) i \(-9\). W punktach \(-\frac12\) oraz \(3\) wynosi \(0\), więc oba końce należą do rozwiązania.
\[f(-1)=-4\leq0,\quad f(0)=3>0,\quad f(4)=-9\leq0,\quad f\!\left(-\frac12\right)=f(3)=0\]