Otwarte2 pkt
Dany jest trzywyrazowy ciąg \((x+2,\ 4x+2,\ x+11)\). Oblicz wszystkie wartości \(x\), dla których ten ciąg jest geometryczny.
Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie
1 Warunek ciągu geometrycznego
Ponieważ pierwszy wyraz musi być różny od zera, przyjmujemy \(x\neq-2\). Wtedy ciąg jest geometryczny, gdy kwadrat środkowego wyrazu jest iloczynem skrajnych.
\[(4x+2)^2=(x+2)(x+11)\]
2 Rozwiązanie równania
Rozwijamy nawiasy i rozkładamy otrzymany trójmian na czynniki.
\[16x^2+16x+4=x^2+13x+22\;\Longleftrightarrow\;3(5x+6)(x-1)=0\;\Longleftrightarrow\;x=-\frac65\;\text{ lub }\;x=1\]
Odpowiedź
Obie wartości spełniają warunek \(x\neq-2\). Zatem \(x=1\) lub \(x=-\frac65\).
\[x\in\left\{1,-\frac65\right\}\]
Sprawdzenie
Dla \(x=1\) wyrazy to \((3,6,12)\), a iloraz wynosi \(2\). Dla \(x=-\frac65\) wyrazy to \(\left(\frac45,-\frac{14}5,\frac{49}5\right)\), a iloraz wynosi \(-\frac72\). Oba ciągi są geometryczne.
\[\frac63=\frac{12}6=2,\qquad\frac{-14/5}{4/5}=\frac{49/5}{-14/5}=-\frac72\]