Otwarte2 pkt
Wykaż, że dla dowolnych różnych liczb rzeczywistych \(a\) i \(b\) prawdziwa jest nierówność
\(a(a+b)+b^{2}>3ab\).
Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie
1 Przenieś wyrazy na jedną stronę
Aby zbadać nierówność, obliczamy różnicę jej lewej i prawej strony.
\[a(a+b)+b^{2}-3ab=a^{2}-2ab+b^{2}=(a-b)^{2}\]
2 Wykorzystaj warunek różności liczb
Ponieważ \(a\neq b\), ich różnica jest niezerowa, więc jej kwadrat jest dodatni.
\[a\neq b\quad\Longrightarrow\quad(a-b)^{2}>0\]
Odpowiedź
Nierówność jest prawdziwa dla każdych różnych liczb rzeczywistych \(a\) i \(b\).
\[a(a+b)+b^{2}>3ab\]
Sprawdzenie
Różnica stron wynosi dokładnie \((a-b)^{2}\). Przy założeniu \(a\neq b\) jest ona ściśle dodatnia, co potwierdza nierówność.
\[a(a+b)+b^{2}-3ab=(a-b)^{2}>0\]